어떤 문제인가
이 문제는 평면벡터의 성질을 이용하여 점 $\mathrm{P}$가 그리는 도형이 무엇인지 알아내고, 그 도형의 길이를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **벡터의 크기($|\vec{v}|$)**: 시점부터 종점까지의 '거리'를 의미합니다.
- 원의 정의: 평면 위의 한 고정된 점으로부터 '같은 거리'에 있는 점들의 집합입니다.
- 원의 둘레(길이) 공식: 반지름의 길이가 $r$인 원의 둘레는 $2\pi r$입니다.
단계별 풀이
1단계: 기준이 되는 벡터의 크기 $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$ 구하기
먼저 문제에서 주어진 점 $\mathrm{A}(4, 3)$과 원점 $\mathrm{O}(0, 0)$에 대하여, 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$의 크기를 구해봅시다.
벡터의 크기는 원점에서 점 $\mathrm{A}$까지의 거리와 같습니다. 피타고라스 정리를 이용해 계산해 볼까요?
$$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$
따라서 기준이 되는 선분의 길이는 $5$입니다.
2단계: 조건 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}| = |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$의 의미 해석하기
이제 문제의 조건인 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}| = |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$를 해석해 봅시다.
1단계에서 구한 값을 대입하면 다음과 식을 얻을 수 있습니다.
$$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}| = 5$$
이 식은 **"원점 $\mathrm{O}$에서 점 $\mathrm{P}$까지의 거리가 항상 $5$로 일정하다"**는 뜻입니다.
평면 위에서 한 고정된 점(원점)으로부터 거리가 $5$로 일정한 점 $\mathrm{P}$들이 모이면 어떤 도형이 될까요?
바로 **원점 $\mathrm{O}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $5$인 원**이 됩니다.
3단계: 도형의 길이 구하기
점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형은 반지름의 길이 $r = 5$인 원입니다.
문제에서 요구한 '도형의 길이'는 이 원의 둘레(원주)를 의미합니다. 원의 둘레 공식 $2\pi r$에 $r=5$를 대입해 봅시다.
$$\text{도형의 길이} = 2 \times \pi \times 5 = 10\pi$$
따라서 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형의 길이는 $10\pi$입니다.
답
**⑤ $10\pi$**
확인해보기
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> 질문: 만약 조건이 $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}| = 3$으로 바뀐다면, 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형은 어떤 도형이며, 그 도형의 길이는 얼마가 될까요? (점 $\mathrm{A}$는 동일하게 $(4,3)$입니다.)