어떤 문제인가
이 문제는 입체도형(직육면체) 안에서 특정 점들의 위치 관계를 파악하고, 선분의 길이를 구하는 문제입니다.
복잡해 보이는 입체도형 문제를 쉽게 해결하기 위해 우리는 다음과 같은 핵심 개념들을 사용할 거예요.
- 공간좌표 설정: 입체도형을 3차원 좌표평면 위에 올려놓으면 복잡한 기하 문제가 단순한 계산 문제로 바뀝니다.
- 삼각형의 무게중심: 세 꼭짓점의 좌표를 알면, 그 평균을 통해 무게중심의 좌표를 쉽게 구할 수 있습니다.
- 두 점 사이의 거리 공식: 3차원 공간에서 두 점 사이의 거리를 구하는 공식을 이용해 최종 답을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 직육면체를 공간좌표계에 나타내기
도형의 한 꼭짓점을 원점 $(0, 0, 0)$으로 잡으면 좌표를 쓰기 편리합니다. 여기서는 아랫면의 꼭짓점 $E$를 원점으로 잡아볼게요.
- 점 $E$를 원점 $(0, 0, 0)$으로 잡습니다.
- $EF$ 방향을 $x$축, $EH$ 방향을 $y$축, $EA$ 방향을 $z$축으로 설정합니다.
주어진 모서리의 길이($\overline{\mathrm{AB}}=3$, $\overline{\mathrm{AD}}=3$, $\overline{\mathrm{AE}}=6$)를 이용하여 필요한 점들의 좌표를 구해봅시다.
- $E = (0, 0, 0)$
- $B$는 $E$에서 $x$축 방향으로 $3$, $z$축 방향으로 $6$만큼 간 점이므로:
$$B = (3, 0, 6)$$
- $G$는 $E$에서 $x$축 방향으로 $3$, $y$축 방향으로 $3$만큼 간 점이므로:
$$G = (3, 3, 0)$$
- $D$는 $E$에서 $y$축 방향으로 $3$, $z$축 방향으로 $6$만큼 간 점이므로:
$$D = (0, 3, 6)$$
2단계: 삼각형 $\mathrm{BEG}$의 무게중심 $\mathrm{P}$의 좌표 구하기
삼각형의 세 꼭짓점의 좌표를 알면, 무게중심의 좌표는 세 점의 $x, y, z$ 좌표를 각각 더한 뒤 $3$으로 나누어 구할 수 있습니다.
우리가 구하려는 삼각형 $\mathrm{BEG}$의 세 꼭짓점 좌표는 다음과 같습니다.
- $B = (3, 0, 6)$
- $E = (0, 0, 0)$
- $G = (3, 3, 0)$
이 세 점의 무게중심 $P(x, y, z)$를 구해봅시다.
$$x = \frac{3 + 0 + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2$$
$$y = \frac{0 + 0 + 3}{3} = \frac{3}{3} = 1$$
$$z = \frac{6 + 0 + 0}{3} = \frac{6}{3} = 2$$
따라서 무게중심 $P$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$P = (2, 1, 2)$$
3단계: 선분 $\mathrm{DP}$의 길이 구하기
이제 점 $D(0, 3, 6)$와 점 $P(2, 1, 2)$ 사이의 거리를 구하면 됩니다. 3차원 공간에서 두 점 사이의 거리 공식을 사용해 봅시다.
$$ \overline{\mathrm{DP}} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $$
좌표를 공식에 대입해 계산해 볼까요?
$$ \overline{\mathrm{DP}} = \sqrt{(2 - 0)^2 + (1 - 3)^2 + (2 - 6)^2} $$
$$ \overline{\mathrm{DP}} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-4)^2} $$
$$ \overline{\mathrm{DP}} = \sqrt{4 + 4 + 16} $$
$$ \overline{\mathrm{DP}} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} $$
답
② $2\sqrt{6}$
확인해보기
만약 이 직육면체의 높이인 모서리 $\overline{\mathrm{AE}}$의 길이가 $6$이 아니라 $3$으로 바뀐다면, 점 $P$의 좌표와 선분 $\mathrm{DP}$의 길이는 어떻게 변할까요? 오늘 배운 공간좌표 방법을 사용해서 스스로 계산해 보세요!