어떤 문제인가
이 문제는 포물선 위의 점들과 초점 사이의 거리를 이용하여 미지수 $p$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 포물선의 정의: 포물선 위의 임의의 한 점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리는 항상 같습니다.
- 포물선의 방정식과 준선: 포물선의 방정식이 $y^2 = 4px$일 때, 초점 $\mathrm{F}$의 좌표는 $(p, 0)$이고, 준선의 방정식은 $x = -p$입니다.
이 두 가지 개념을 결합하면 복잡한 좌표 계산 없이 아주 쉽게 문제를 해결할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 포물선의 정의를 이용해 거리 식 세우기
포물선 문제에서 초점까지의 거리가 나오면 가장 먼저 준선을 그려야 합니다.
포물선 $y^2 = 4px$의 준선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$x = -p$$
포물선의 정의에 의해, 포물선 위의 임의의 점 $\mathrm{P}(x, y)$에서 초점 $\mathrm{F}$까지의 거리 $\overline{\mathrm{FP}}$는 점 $\mathrm{P}$에서 준선 $x = -p$까지의 수직 거리와 같습니다.
점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표를 $x$라고 할 때, 준선 $x = -p$까지의 거리는 오른쪽(점 $\mathrm{P}$)의 $x$좌표에서 왼쪽(준선)의 $x$좌표를 뺀 값입니다. 즉,
$$\overline{\mathrm{FP}} = x - (-p) = x + p$$
이 공식이 이 문제를 푸는 가장 강력한 열쇠입니다!
2단계: 각 점 $\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \mathrm{P}_3$에서 초점까지의 거리 구하기
문제에서 세 점 $\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \mathrm{P}_3$은 각각 직선 $x=p$, $x=2p$, $x=3p$ 위에 있다고 했습니다. 즉, 각 점의 $x$좌표가 주어진 것입니다.
1단계에서 구한 공식 $\overline{\mathrm{FP}} = x + p$를 각각의 점에 적용해 봅시다.
- 점 $\mathrm{P}_1$의 $x$좌표는 $p$이므로:
$$\overline{\mathrm{FP}_1} = p + p = 2p$$
- 점 $\mathrm{P}_2$의 $x$좌표는 $2p$이므로:
$$\overline{\mathrm{FP}_2} = 2p + p = 3p$$
- 점 $\mathrm{P}_3$의 $x$좌표는 $3p$이므로:
$$\overline{\mathrm{FP}_3} = 3p + p = 4p$$
3단계: 주어진 조건으로 방정식 풀기
문제에서 세 거리의 합이 $27$이라고 주어졌습니다.
$$\overline{\mathrm{FP}_1} + \overline{\mathrm{FP}_2} + \overline{\mathrm{FP}_3} = 27$$
위에서 구한 식들을 대입해 볼까요?
$$2p + 3p + 4p = 27$$
동류항을 정리하면 다음과 같습니다.
$$9p = 27$$
양변을 $9$로 나누면 우리가 구하고자 하는 $p$의 값을 얻을 수 있습니다.
$$p = 3$$
답
**③ $3$**
확인해보기
포물선의 정의를 제대로 이해했는지 스스로 확인해 봅시다.
> [질문]
> 포물선 $y^2 = 8x$ 위에 있는 한 점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표가 $5$일 때, 이 포물선의 초점 $\mathrm{F}$에서 점 $\mathrm{Q}$까지의 거리 $\overline{\mathrm{FQ}}$는 얼마일까요? (힌트: 먼저 이 포물선의 $p$값이 무엇인지 찾아보세요.)