어떤 문제인가
이 문제는 공간도형에서 구와 평면의 교선(원), 두 구의 교선, 그리고 정사영의 개념을 복합적으로 사용하는 훌륭한 기하 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 이해해야 하는 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 피타고라스 정리를 이용한 현의 길이 구하기: 구가 평면과 만나서 생기는 원 위에서 선분의 길이를 구합니다.
- 두 구의 교선(원)의 성질: 두 구가 만날 때 생기는 원의 중심과 반지름, 그리고 그 원이 놓인 평면의 특징을 파악합니다.
- 정사영과 타원의 성질: 원을 평면에 정사영했을 때 생기는 타원의 단축의 길이를 이용하여 삼각형의 넓이의 최댓값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: $xy$평면 위에 있는 원 $C$와 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이 구하기
먼저 구 $S$의 방정식은 중심이 $\mathrm{A}(0, 0, 1)$이고 반지름이 $4$이므로 다음과 같습니다.
$$x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 16$$
이 구가 $xy$평면($z=0$)과 만나서 생기는 원 $C$의 방정식을 구하기 위해 $z=0$을 대입합니다.
$$x^2 + y^2 + (0-1)^2 = 16 \implies x^2 + y^2 = 15$$
따라서 원 $C$는 $xy$평면 위에서 중심이 원점 $\mathrm{O}(0,0,0)$이고 반지름의 길이가 $\sqrt{15}$인 원입니다.
이제 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이를 구해봅시다.
점 $\mathrm{A}(0,0,1)$에서 선분 $\mathrm{PQ}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{M}$이라 하면, $\mathrm{M}$은 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점입니다. 문제에서 점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{PQ}$까지의 거리가 $2$라고 했으므로 $\mathrm{AM} = 2$입니다.
점 $\mathrm{M}$은 $xy$평면 위의 점이므로 $z$좌표는 $0$입니다. 즉, $\mathrm{M}(x_0, y_0, 0)$이라 둘 수 있습니다.
$\mathrm{AM} = 2$이므로 두 점 사이의 거리 공식을 쓰면:
$$\mathrm{AM}^2 = x_0^2 + y_0^2 + (0-1)^2 = 2^2 = 4 \implies x_0^2 + y_0^2 = 3$$
이것은 원점 $\mathrm{O}$에서 점 $\mathrm{M}$까지의 거리 $\mathrm{OM}$이 $\sqrt{3}$임을 의미합니다.
$\mathrm{M}$은 원 $C$의 현 $\mathrm{PQ}$의 중점이므로, $\mathrm{OM} \perp \mathrm{PQ}$가 성립합니다.
직각삼각형 $\mathrm{OMP}$에서 피타고라스 정리를 적용하면:
$$\mathrm{PM}^2 = \mathrm{OP}^2 - \mathrm{OM}^2 = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{3})^2 = 15 - 3 = 12$$
$$\mathrm{PM} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$
따라서 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이는 다음과 같습니다.
$$\mathrm{PQ} = 2 \times \mathrm{PM} = 4\sqrt{3}$$
2단계: 구 $T$의 성질과 두 구 $S, T$가 만나서 생기는 원 분석하기
구 $T$는 선분 $\mathrm{PQ}$를 지름으로 하는 구입니다.
따라서 구 $T$의 중심은 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점인 $\mathrm{M}$이고, 반지름 $r$은 다음과 같습니다.
$$r = \frac{\mathrm{PQ}}{2} = 2\sqrt{3}$$
이제 구 $S$(중심 $\mathrm{A}$, 반지름 $R=4$)와 구 $T$(중심 $\mathrm{M}$, 반지름 $r=2\sqrt{3}$)가 만나서 생기는 원을 분석해 봅시다.
두 구의 중심 사이의 거리는 $\mathrm{AM} = 2$입니다.
여기서 아주 흥미로운 관계를 발견할 수 있습니다. 세 길이 $R$, $r$, $\mathrm{AM}$ 사이의 관계를 보면:
$$\mathrm{AM}^2 + r^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16 = R^2$$
피타고라스 정리가 성립하므로, 두 구의 교선 위에 있는 임의의 점 $\mathrm{X}$에 대해 삼각형 $\mathrm{AMX}$는 $\angle\mathrm{AMX} = 90^\circ$인 직각삼각형입니다.
이것은 **두 구가 만나서 생기는 원이 바로 점 $\mathrm{M}$을 지나고 선분 $\mathrm{AM}$에 수직인 평면 위에 존재함**을 뜻합니다.
즉, 점 $\mathrm{B}$가 움직이는 원(편의상 원 $C'$이라 합시다)은 **중심이 $\mathrm{M}$이고 반지름이 $2\sqrt{3}$이며, 법선벡터가 $\vec{\mathrm{MA}}$인 평면 위에 있는 원**입니다.
3단계: 정사영의 넓이의 최댓값 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 삼각형 $\mathrm{BPQ}$의 $xy$평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값입니다.
선분 $\mathrm{PQ}$는 이미 $xy$평면 위에 있으므로, 정사영을 내려도 그 길이는 $\mathrm{PQ} = 4\sqrt{3}$으로 변하지 않습니다.
따라서 점 $\mathrm{B}$의 $xy$평면 위로의 정사영을 $\mathrm{B'}$이라 하면, 정사영된 삼각형 $\mathrm{B'PQ}$의 넓이는 다음과 같습니다.
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times \mathrm{PQ} \times (점 \mathrm{B'}에서 직선 \mathrm{PQ}까지의 거리)$$
넓이가 최대가 되려면 **점 $\mathrm{B'}$에서 직선 $\mathrm{PQ}$까지의 거리**가 최대가 되어야 합니다.
원 $C'$을 $xy$평면 위로 정사영시키면 타원이 됩니다.
- 원 $C'$의 지름 중 직선 $\mathrm{PQ}$와 평행한 지름은 $xy$평면과 평행하므로 정사영을 내려도 길이가 변하지 않고 타원의 장축이 됩니다. (장축의 반지름 $a = 2\sqrt{3}$)
- 직선 $\mathrm{PQ}$와 수직인 방향의 지름은 두 평면이 이루는 각 $\theta$에 의해 수축되어 타원의 단축이 됩니다.
두 평면(원 $C'$이 놓인 평면과 $xy$평면)이 이루는 각 $\theta$를 구해봅시다.
원 $C'$이 놓인 평면의 법선벡터는 $\vec{\mathrm{MA}}$이고, $xy$평면의 법선벡터는 $z$축 방향입니다.
점 $\mathrm{A}(0,0,1)$과 $xy$평면 위의 점 $\mathrm{M}$에 대해, $\mathrm{AM} = 2$이고 $\mathrm{A}$의 $z$좌표가 $1$, $\mathrm{M}$의 $z$좌표가 $0$이므로 수직 높이는 $1$입니다.
따라서, 두 법선벡터가 이루는 각 $\theta$에 대해 다음이 성립합니다.
$$\cos\theta = \frac{1}{\mathrm{AM}} = \frac{1}{2} \implies \theta = 60^\circ$$
따라서 정사영된 타원의 단축의 반지름 $b$는 다음과 같습니다.
$$b = 2\sqrt{3} \times \cos 60^\circ = 2\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \sqrt{3}$$
점 $\mathrm{B'}$에서 직선 $\mathrm{PQ}$까지의 거리의 최댓값은 바로 이 타원의 단축의 반지름인 $b = \sqrt{3}$이 됩니다. (이때 점 $\mathrm{B}$의 $z$좌표가 양수라는 조건도 만족합니다.)
따라서 구하고자 하는 정사영의 넓이의 최댓값은 다음과 같습니다.
$$\text{최댓값} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 6$$
답
정답은 **① $6$** 입니다.
확인해보기
공간도형의 성질을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 만약 구 $S$의 반지름이 $4$가 아니라 $5$로 커진다면, 두 구 $S$와 $T$가 만나서 생기는 원의 평면은 여전히 점 $\mathrm{M}$을 지날까요? 아니라면 왜 그럴지 생각해 보세요.