어떤 문제인가
이 문제는 타원의 기하학적 정의와 원의 성질, 그리고 삼각부등식을 결합하여 최솟값을 구하는 흥미로운 기하 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 타원의 정의: 타원 위의 한 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 주축의 길이($2a$)로 일정합니다.
- 원 위의 점과의 거리: 원 밖의 점(또는 원 안의 점)에서 원 위의 점까지의 거리의 최솟값은 원의 중심을 지나는 직선을 이용해 구합니다.
- 삼각부등식: 세 점이 일직선 위에 있을 때 거리의 합이나 차가 최대 또는 최소가 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 타원의 초점과 정의 이용하기
먼저 주어진 타원의 방정식에서 초점의 좌표와 타원의 정의를 이끌어내 봅시다.
주어진 타원의 방정식은 다음과 같습니다.
$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$$
이 타원에서 $a^2 = 9$, $b^2 = 5$이므로 $a = 3$, $b = \sqrt{5}$입니다.
초점의 $x$좌표 $c$는 $c^2 = a^2 - b^2$ 공식을 통해 구할 수 있습니다.
$$c^2 = 9 - 5 = 4 \implies c = 2 \quad (\because c > 0)$$
따라서 두 초점의 좌표는 $\mathrm{F}(2, 0)$와 $\mathrm{F'}(-2, 0)$입니다.
타원의 정의에 의해, 타원 위의 임의의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 두 초점까지의 거리의 합은 장축의 길이인 $2a = 6$으로 일정합니다.
$$\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF'}} = 6$$
이 식을 $\overline{\mathrm{PF}}$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$\overline{\mathrm{PF}} = 6 - \overline{\mathrm{PF'}}$$
2단계: 구하려는 식 변형하기
우리가 최소화해야 하는 식은 $\overline{\mathrm{PQ}} - \overline{\mathrm{PF}}$입니다. 1단계에서 구한 식을 여기에 대입해 봅시다.
$$\overline{\mathrm{PQ}} - \overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{PQ}} - (6 - \overline{\mathrm{PF'}}) = \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{PF'}} - 6$$
결국, 이 식의 최솟값을 구하는 것은 **$\overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{PF'}}$의 최솟값**을 구하는 것과 같습니다.
3단계: 원의 중심 $C$를 도입하여 거리 관계 분석하기
점 $\mathrm{Q}$는 중심이 $C(2, 3)$이고 반지름이 $r$인 원 위의 점입니다.
타원 위의 점 $\mathrm{P}$에서 원 위의 점 $\mathrm{Q}$까지의 거리 $\overline{\mathrm{PQ}}$는 원의 중심 $C$를 이용해 표현할 수 있습니다.
만약 타원이 원의 내부에 완전히 포함된다고 가정하면(반지름 $r$이 충분히 큰 경우), 점 $\mathrm{P}$에서 원 위의 점 $\mathrm{Q}$까지의 거리의 최솟값은 다음과 같습니다.
$$\overline{\mathrm{PQ}} \ge r - \overline{\mathrm{PC}}$$
(이때 등호는 세 점 $\mathrm{P}, C, \mathrm{Q}$가 이 순서대로 일직선 위에 있을 때 성립합니다.)
이 관계식을 우리가 최소화하려는 식에 대입해 봅시다.
$$\overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{PF'}} \ge (r - \overline{\mathrm{PC}}) + \overline{\mathrm{PF'}} = r - (\overline{\mathrm{PC}} - \overline{\mathrm{PF'}})$$
4단계: 삼각부등식을 이용해 최솟값 구하기
식 $r - (\overline{\mathrm{PC}} - \overline{\mathrm{PF'}})$이 최소가 되려면, 빼는 값인 **$\overline{\mathrm{PC}} - \overline{\mathrm{PF'}}$이 최대**가 되어야 합니다.
삼각형 $\mathrm{P C F'}$에서 삼각부등식에 의해 다음이 성립합니다.
$$\overline{\mathrm{PC}} \le \overline{\mathrm{PF'}} + \overline{\mathrm{CF'}} \implies \overline{\mathrm{PC}} - \overline{\mathrm{PF'}} \le \overline{\mathrm{CF'}}$$
따라서 $\overline{\mathrm{PC}} - \overline{\mathrm{PF'}}$의 최댓값은 바로 두 고정된 점 $C$와 $\mathrm{F'}$ 사이의 거리인 $\overline{\mathrm{CF'}}$입니다.
(이 최댓값은 점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{CF'}$의 연장선 위에 있을 때 성립합니다.)
이제 두 점 $C(2, 3)$와 $\mathrm{F'}(-2, 0)$ 사이의 거리를 구해봅시다.
$$\overline{\mathrm{CF'}} = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$$
따라서 $\overline{\mathrm{PC}} - \overline{\mathrm{PF'}}$의 최댓값은 $5$입니다.
5단계: $r$의 값 구하기
위의 결과를 종합하면, $\overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{PF'}}$의 최솟값은 다음과 같습니다.
$$\text{최솟값} = r - 5$$
따라서 우리가 구하고자 했던 원래 식 $\overline{\mathrm{PQ}} - \overline{\mathrm{PF}}$의 최솟값은 다음과 같습니다.
$$\overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{PF'}} - 6 \ge (r - 5) - 6 = r - 11$$
문제에서 이 최솟값이 $6$이라고 주어졌으므로,
$$r - 11 = 6$$
$$r = 17$$
*(참고: $r=17$일 때 원의 반지름이 매우 크므로, 타원은 원의 내부에 완전히 포함되어 3단계의 가정이 올바름을 확인할 수 있습니다.)*
답
$$r = 17$$
확인해보기
만약 원의 반지름 $r$이 매우 작아서 타원이 원의 외부에 존재한다고 가정해 봅시다. 이 경우 점 $\mathrm{P}$에서 원 위의 점 $\mathrm{Q}$까지의 거리의 최솟값은 $\overline{\mathrm{PQ}} \ge \overline{\mathrm{PC}} - r$이 됩니다.
이 가정을 사용할 경우, 왜 문제의 조건(최솟값이 $6$)을 만족하는 양수 $r$이 존재할 수 없는지 식을 세워 스스로 생각해 보세요.