어떤 문제인가
세 조건 (가), (나), (다)를 만족하는 점들을 좌표로 확정한 뒤, $|\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}|$의 최솟값을 구하는 벡터 문제예요. 핵심은 조건 (가)의 벡터 등식 $9|\overrightarrow{PQ}|\overrightarrow{PQ} = 4|\overrightarrow{AB}|\overrightarrow{AB}$가 두 벡터가 같은 방향으로 평행하면서 크기 관계 $9|\overrightarrow{PQ}|^2 = 4|\overrightarrow{AB}|^2$을 만족한다는 뜻이라는 점이에요. 이를 (다)와 결합하면 모든 길이가 결정되어 좌표를 완전히 잡을 수 있고, $|\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}|$는 $X$에 대한 간단한 이차식의 최솟값 문제가 됩니다.
단계별 풀이
- 길이의 관계부터 정해요. $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = a$라 하면, 조건 (가)에서 $9|\overrightarrow{PQ}|\overrightarrow{PQ} = 4a\,\overrightarrow{AB}$이므로 $\overrightarrow{PQ}$는 $\overrightarrow{AB}$와 같은 방향이에요. 크기를 비교하면
$$9|\overrightarrow{PQ}|^2 = 4a^2 \quad\Rightarrow\quad |\overrightarrow{PQ}| = \frac{2}{3}a,\qquad \overrightarrow{PQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.$$
- **조건 (다)로 $a$를 결정해요.** 계산하기 쉽도록 좌표를 $A=(0,0)$, $B=(a,0)$, $C=(0,a)$로 잡아요($\angle BAC = \frac{\pi}{2}$, $\overline{AB}=\overline{AC}$). 그러면 $\overrightarrow{PQ} = \left(\frac{2a}{3}, 0\right)$, $\overrightarrow{CB} = (a, -a)$이므로
$$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{CB} = \frac{2a}{3}\cdot a = \frac{2a^2}{3} = 24 \quad\Rightarrow\quad a^2 = 36,\; a = 6.$$
따라서 $|\overrightarrow{PQ}| = 4$, $\overrightarrow{PQ} = (4,0)$이에요.
- **$P$, $Q$의 위치를 정해요.** 삼각형 $APQ$는 한 변의 길이가 $4$인 정삼각형이고 $A$가 한 꼭짓점이므로, $\overline{PQ}$의 중점 $M$은 $A$로부터 높이만큼, 즉 거리 $2\sqrt{3}$만큼 $\overrightarrow{PQ}$에 수직인 방향에 있어요. $\overrightarrow{PQ}=(4,0)$이 수평이므로 $M = (0, \pm 2\sqrt{3})$, 즉
$$P = (-2, \pm 2\sqrt{3}),\qquad Q = (2, \pm 2\sqrt{3})$$
이에요. 여기서 조건 (나) $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AQ} < 0$을 쓰면, $\overrightarrow{AC} = (0,6)$이므로 $Q$의 $y$좌표는 음수여야 해요. 따라서
$$P = (-2, -2\sqrt{3}),\qquad Q = (2, -2\sqrt{3}).$$
- 최솟값을 계산해요. $X$는 선분 $AQ$ 위의 점이므로 $X = tQ = (2t, -2\sqrt{3}t)$, $t\in[0,1]$로 놓을 수 있어요. 이때
$$\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB} = (A - X) + (B - X) = A + B - 2X = (6 - 4t,\; 4\sqrt{3}t)$$
이므로
$$|\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}|^2 = (6-4t)^2 + 48t^2 = 64t^2 - 48t + 36.$$
이 이차함수의 최솟값은 $t = \frac{48}{128} = \frac{3}{8} \in [0,1]$에서
$$64\cdot\frac{9}{64} - 48\cdot\frac{3}{8} + 36 = 9 - 18 + 36 = 27$$
이 됩니다. 즉 $m = 3\sqrt{3}$, $m^2 = 27$이에요.
검산
구한 좌표 $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $C=(0,6)$, $P=(-2,-2\sqrt{3})$, $Q=(2,-2\sqrt{3})$를 문제의 조건에 하나씩 대입해 보세요. $\overline{AP}=\overline{AQ}=\overline{PQ}=4$로 정삼각형이 맞고, $9|\overrightarrow{PQ}|\overrightarrow{PQ} = (144,0) = 4|\overrightarrow{AB}|\overrightarrow{AB}$로 (가), $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AQ} = -12\sqrt{3} \approx -20.78 < 0$으로 (나), $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{CB} = 24$로 (다)가 모두 성립해요. 또 $t$를 $[0,1]$에서 아주 촘촘하게($10^6$ 등분) 움직여 보아도 $|\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}|^2$의 최솟값은 $t=0.375$에서 정확히 $27$임을 확인할 수 있어요.
답
$$m^2 = \boxed{27}$$
확인해보기
4단계에서 $\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB} = A+B-2X$로 바꿔 쓴 이유는 무엇일까요? 이 식이 $\overline{AB}$의 중점과 어떤 관계가 있는지 그림을 그려 설명해 보세요.