어떤 문제인가
이 문제는 이항분포를 따르는 확률변수의 평균을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **이항분포 $\text{B}(n, p)$**: 결과가 '성공' 아니면 '실패' 두 가지만 나오는 시행을 $n$번 독립적으로 반복할 때, 성공하는 횟수를 확률변수 $X$라 하고 이때의 확률분포를 뜻합니다.
- 이항분포의 평균 공식: 확률변수 $X$가 이항분포 $\text{B}(n, p)$를 따를 때, 평균적으로 기대할 수 있는 값(평균)은 시행 횟수($n$)와 한 번 시행할 때 성공할 확률($p$)을 곱해서 구합니다. 즉, $\text{E}(X) = np$입니다.
단계별 풀이
1단계: 문제에서 주어진 조건 분석하기
먼저 문제에서 주어진 이항분포의 기호를 보고, 총 시행 횟수($n$)와 한 번 시행할 때 일어날 확률($p$)이 각각 무엇인지 찾아내야 합니다.
문제에서 확률변수 $X$가 $\text{B}\left(30, \frac{1}{5}\right)$를 따른다고 했습니다. 이항분포의 기본 형태인 $\text{B}(n, p)$와 비교해 보면 다음과 같은 정보를 얻을 수 있습니다.
- 총 시행 횟수 $n = 30$
- 한 번 시행할 때 사건이 일어날 확률 $p = \frac{1}{5}$
2단계: 평균 공식을 적용하여 계산하기
이항분포의 평균을 구하는 공식은 다음과 같습니다.
$$\text{E}(X) = np$$
이 공식은 직관적으로도 이해하기 쉽습니다. 예를 들어 성공 확률이 $\frac{1}{5}$인 게임을 $30$번 반복한다면, 상식적으로 평균 $30 \times \frac{1}{5} = 6$번 정도 성공할 것이라고 기대할 수 있겠죠?
이제 공식에 우리가 찾은 값들을 대입해 봅시다.
$$\text{E}(X) = 30 \times \frac{1}{5}$$
이를 계산하면 다음과 같습니다.
$$\text{E}(X) = 6$$
따라서 구하고자 하는 평균은 $6$입니다.
답
**① $6$**
확인해보기
오늘 배운 공식을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> [질문]
> 확률변수 $Y$가 이항분포 $\text{B}\left(50, \frac{2}{5}\right)$를 따를 때, 평균 $\text{E}(Y)$의 값은 얼마일까요?