어떤 문제인가
이 문제는 두 사건의 관계(배반사건, 여사건)를 이해하고, 확률의 성질을 이용하여 원하는 사건의 확률을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어두어야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 배반사건: 두 사건이 동시에 일어날 수 없을 때, 즉 교집합이 공집합($\emptyset$)일 때를 말합니다.
- 여사건: 어떤 사건이 일어나지 않을 사건을 말하며, 기호로 $A^C$와 같이 나타냅니다.
- 확률의 성질과 벤 다이어그램: 복잡한 확률 식을 벤 다이어그램을 통해 시각화하면 훨씬 쉽게 이해할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: "배반사건" 조건 해석하기
문제에서 "사건 $A$와 $B^C$은 서로 배반사건"이라고 했습니다. 배반사건의 정의에 따라 두 사건의 교집합은 공집합입니다.
$$A \cap B^C = \emptyset$$
이것을 확률로 나타내면 다음과 같습니다.
$$\mathrm{P}(A \cap B^C) = 0$$
여기서 아주 중요한 사실을 하나 알 수 있어요. $A$의 원소 중에서 $B$가 아닌 것($B^C$)의 확률이 $0$이라는 뜻은, **사건 $A$가 일어난다면 그 사건은 무조건 $B$ 안에서만 일어난다**는 뜻입니다. 즉, 집합으로 나타내면 $A$가 $B$의 부분집합($A \subset B$)이라는 의미가 됩니다.
따라서 다음이 성립합니다.
$$A \cap B = A$$
$$\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A)$$
2단계: $\mathrm{P}(A)$와 $\mathrm{P}(B)$의 값 구하기
문제에서 $\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{5}$라고 주어졌습니다. 1단계에서 구한 식에 대입해 볼까요?
$$\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{5}$$
이제 또 다른 조건인 $\mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) = \frac{7}{10}$을 이용해 $\mathrm{P}(B)$를 구해봅시다.
$$\frac{1}{5} + \mathrm{P}(B) = \frac{7}{10}$$
양변에서 $\frac{1}{5}$(즉, $\frac{2}{10}$)를 빼주면 다음과 같습니다.
$$\mathrm{P}(B) = \frac{7}{10} - \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$
3단계: 구하고자 하는 $\mathrm{P}(A^C \cap B)$ 계산하기
우리가 구해야 하는 값은 $\mathrm{P}(A^C \cap B)$입니다.
이 식은 집합의 성질에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$A^C \cap B = B \cap A^C = B - A$$
즉, $B$의 확률에서 $A$와 겹치는 부분의 확률을 제외한 것입니다. 이를 확률 식으로 쓰면 다음과 같습니다.
$$\mathrm{P}(A^C \cap B) = \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B)$$
우리가 앞서 구한 값들을 대입해 봅시다.
$$\mathrm{P}(A^C \cap B) = \frac{1}{2} - \frac{1}{5}$$
분모를 $10$으로 통분하여 계산합니다.
$$\mathrm{P}(A^C \cap B) = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} = \frac{3}{10}$$
답
정답은 **③ $\frac{3}{10}$** 입니다.
확인해보기
공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 두 사건 $A$, $B$에 대하여 $A \subset B$ 관계가 성립할 때, 합사건의 확률인 $\mathrm{P}(A \cup B)$는 무엇과 같을까요? (벤 다이어그램을 그려서 생각해 보세요.)