어떤 문제인가
이 문제는 주어진 수학 시험 점수의 분포를 바탕으로, 특정 점수 구간(55점 이상 78점 이하)에 속할 확률을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 정규분포 (Normal Distribution): 평균을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양의 확률분포입니다.
- 표준화 (Standardization): 서로 다른 평균과 표준편차를 가진 정규분포를 비교하기 위해, 평균이 $0$이고 표준편차가 $1$인 표준정규분포로 변환하는 과정입니다.
- 표준정규분포표 읽기: 표준화된 확률변수 $Z$의 값을 이용해 원하는 구간의 확률(넓이)을 구하는 방법입니다.
단계별 풀이
1단계: 확률변수와 정규분포 정의하기
먼저 문제에서 주어진 정보를 수학 기호로 정리해 봅시다.
수험생의 수학 시험 점수를 확률변수 $X$라고 합시다. 문제에서 $X$는 평균이 $68$점이고 표준편차가 $10$점인 정규분포를 따른다고 했습니다.
이를 기호로 나타내면 다음과 같습니다.
$$X \sim \mathrm{N}(68, 10^2)$$
우리가 구하고자 하는 것은 점수가 $55$점 이상, $78$점 이하일 확률이므로, 구하는 식은 다음과 같습니다.
$$\mathrm{P}(55 \le X \le 78)$$
2단계: 표준화 공식 적용하기
우리가 가진 표는 평균이 $0$이고 표준편차가 $1$인 **표준정규분포 $Z$**에 대한 표입니다. 따라서 $X$를 $Z$로 바꾸는 표준화 과정이 필요합니다.
표준화 공식은 다음과 같습니다.
$$Z = \frac{X - m}{\sigma}$$
(여기서 $m$은 평균, $\sigma$는 표준편차입니다.)
이 공식에 $m = 68$, $\sigma = 10$을 대입하여 점수 $55$와 $78$을 표준화해 봅시다.
- **$X = 55$일 때:**
$$Z = \frac{55 - 68}{10} = \frac{-13}{10} = -1.3$$
- **$X = 78$일 때:**
$$Z = \frac{78 - 68}{10} = \frac{10}{10} = 1.0$$
따라서 구하고자 하는 확률은 다음과 같이 변환됩니다.
$$\mathrm{P}(55 \le X \le 78) = \mathrm{P}(-1.3 \le Z \le 1.0)$$
3단계: 대칭성을 이용하여 확률 구하기
표준정규분포 곡선은 $Z=0$을 기준으로 좌우 대칭입니다. 따라서 구하고자 하는 확률을 두 부분으로 나누어 생각할 수 있습니다.
$$\mathrm{P}(-1.3 \le Z \le 1.0) = \mathrm{P}(-1.3 \le Z \le 0) + \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.0)$$
이때, 좌우 대칭성에 의해 음수 영역의 확률인 $\mathrm{P}(-1.3 \le Z \le 0)$은 양수 영역의 확률인 $\mathrm{P}(0 \le Z \le 1.3)$과 같습니다.
$$\mathrm{P}(-1.3 \le Z \le 0) = \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.3)$$
따라서 식을 다시 쓰면 다음과 같습니다.
$$\mathrm{P}(-1.3 \le Z \le 1.0) = \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.3) + \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.0)$$
4단계: 표준정규분포표에서 값 찾고 계산하기
이제 문제에 주어진 표준정규분포표에서 필요한 값을 찾아봅시다.
- $\mathrm{P}(0 \le Z \le 1.3) = 0.4032$
- $\mathrm{P}(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413$
두 값을 더해줍니다.
$$0.4032 + 0.3413 = 0.7445$$
따라서 임의로 선택한 수험생의 점수가 $55$점 이상 $78$점 이하일 확률은 $0.7445$입니다.
답
**② $0.7445$**
확인해보기
만약 이 수학 시험에서 임의로 선택한 한 명의 점수가 **$58$점 이상 $68$점 이하**일 확률을 구하고자 한다면, 이를 표준화했을 때 $Z$의 범위는 어떻게 될까요? 그리고 표준정규분포표의 어떤 값을 이용해야 할지 스스로 생각해 보세요.