어떤 문제인가
이 문제는 주어진 두 집합 사이의 일대일함수 중에서 특정 조건을 만족하는 함수를 선택할 확률을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 일대일함수의 정의와 개수 구하기: 정의역의 서로 다른 원소가 공역의 서로 다른 원소에 대응하는 함수입니다. 순열($P$)을 이용해 개수를 구합니다.
- 여사건을 이용한 경우의 수 구하기: '적어도 하나가 ~이다'라는 조건이 있을 때는 전체에서 반대의 경우(여사건)를 빼는 것이 훨씬 쉽습니다.
- 배수의 성질: 여러 수의 곱이 $4$의 배수가 되기 위한 조건을 소인수분해의 관점에서 이해합니다.
단계별 풀이
1단계: 전체 경우의 수 구하기 (분모 결정)
우선 전체 사건인 '집합 $X$에서 $Y$로의 모든 일대일함수 $f$의 개수'를 구해봅시다.
정의역 $X = \{1, 2, 3, 4\}$의 원소는 4개이고, 공역 $Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$의 원소는 7개입니다.
일대일함수가 되려면 $X$의 원소들이 서로 다른 $Y$의 원소를 선택해야 하므로, 7개의 공역 원소 중 4개를 택해 순서대로 나열하는 순열의 수와 같습니다.
$$n(S) = {}_7\mathrm{P}_4 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$$
전체 경우의 수는 **$840$**입니다.
2단계: 조건 (가) 적용하기
조건 (가)에서 $f(2) = 2$라고 고정해 주었습니다.
이 조건에 의해 $f(2)$의 값은 이미 $2$로 결정되었습니다. 일대일함수여야 하므로, 나머지 정의역 원소인 $\{1, 3, 4\}$는 $2$를 제외한 나머지 공역 원소 $\{1, 3, 4, 5, 6, 7\}$ 중에서 서로 다른 값을 선택해야 합니다.
- 선택 가능한 남은 공역 원소의 개수: $6$개
- 이 중 홀수는 $\{1, 3, 5, 7\}$ (4개)
- 짝수는 $\{4, 6\}$ (2개)
3단계: 조건 (나) 분석하기
조건 (나)는 네 함숫값의 곱이 $4$의 배수여야 한다고 합니다.
$$f(1) \times f(2) \times f(3) \times f(4) \text{는 } 4\text{의 배수}$$
그런데 우리는 이미 $f(2) = 2$임을 알고 있습니다. 이를 대입해 볼까요?
$$f(1) \times 2 \times f(3) \times f(4) = 2 \times \{ f(1) \times f(3) \times f(4) \}$$
이 값이 $4$의 배수가 되려면, 이미 앞에 $2$가 곱해져 있으므로 중괄호 안의 값인 **$f(1) \times f(3) \times f(4)$가 짝수(즉, $2$의 배수)**가 되어야 합니다.
세 수의 곱이 짝수가 되려면, **$f(1), f(3), f(4)$ 중 적어도 하나는 짝수**여야 합니다.
4단계: 여사건을 이용하여 조건 (나)를 만족하는 경우의 수 구하기
'적어도 하나가 짝수'인 경우를 직접 구하는 것보다, '모두 홀수인 경우'를 구해서 전체에서 빼는 것이 훨씬 간단합니다.
- **$f(2) = 2$일 때, $f(1), f(3), f(4)$를 정하는 전체 경우의 수**:
남은 6개의 공역 원소 중에서 3개를 택해 일대일대응으로 나열하는 경우의 수입니다.
$${}_6\mathrm{P}_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$$
- **여사건: $f(1), f(3), f(4)$가 모두 홀수인 경우의 수**:
남은 공역 원소 중 홀수는 $\{1, 3, 5, 7\}$로 총 4개입니다. 이 4개의 홀수 중에서 3개를 택해 나열하는 경우의 수입니다.
$${}_4\mathrm{P}_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$$
- 조건을 만족하는 경우의 수:
전체 경우에서 모두 홀수인 경우를 제외합니다.
$$120 - 24 = 96$$
따라서 조건 (가)와 (나)를 동시에 만족하는 함수의 개수는 **$96$**개입니다.
5단계: 확률 계산하기
구하고자 하는 확률은 (전체 일대일함수의 개수) 분의 (조건을 만족하는 함수의 개수)입니다.
$$\text{확률} = \frac{96}{840}$$
분모와 분자를 약분해 봅시다. 먼저 $8$로 약분하면,
$$\frac{12}{105}$$
다시 $3$으로 약분하면,
$$\frac{4}{35}$$
답
**④ $\frac{4}{35}$**
확인해보기
공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 확인해 보세요!
> 질문: 만약 조건 (가)가 $f(2) = 3$으로 바뀌었다면, 곱 $f(1) \times f(2) \times f(3) \times f(4)$가 $4$의 배수가 되기 위해서 $f(1), f(3), f(4)$는 어떤 조건을 만족해야 할까요? (힌트: 소인수 $2$가 몇 개 필요한지 생각해 보세요.)