어떤 문제인가
이 문제는 주사위를 던지는 결과에 따라 서로 다른 주머니(A 또는 B)를 선택하고, 그 주머니에서 공을 꺼내 두 수의 차를 기록하는 시행을 2번 반복하는 상황입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 확률의 곱셈정리와 덧셈정리: 주사위 결과에 따라 주머니를 선택하고 공을 꺼내는 전체 확률을 구합니다.
- 확률변수의 확률분포: 한 번의 시행에서 나올 수 있는 '두 수의 차'의 확률분포를 먼저 구해야 합니다.
- **표본평균($\overline{X}$)**: 두 번의 독립적인 시행에서 얻은 결과의 평균이 특정 값(여기서는 2)이 되는 경우를 찾고, 그 확률을 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 주머니 A와 B를 선택할 확률 구하기
먼저 주사위를 던져서 어떤 주머니를 선택하게 되는지 확률을 구해봅시다.
- 주머니 A를 선택할 확률: 주사위 눈이 3의 배수($3, 6$)가 나와야 하므로,
$$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
- 주머니 B를 선택할 확률: 주사위 눈이 3의 배수가 아닌 수($1, 2, 4, 5$)가 나와야 하므로,
$$P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$
2단계: 각 주머니에서 공을 꺼낼 때, '두 수의 차'의 확률 구하기
한 번의 시행에서 기록되는 두 수의 차를 확률변수 $Y$라고 합시다. 주머니 A와 B에서 공을 꺼낼 때 나올 수 있는 $Y$의 값과 그 확률을 각각 구해봅시다.
(1) 주머니 A에서 꺼내는 경우 (공: {1, 2, 3})
3개의 공 중에서 임의로 2개를 동시에 꺼내는 전체 경우의 수는 $\binom{3}{2} = 3$가지입니다.
- 두 수의 차가 $1$인 경우: $\{1, 2\}, \{2, 3\}$ (2가지) $\rightarrow$ 확률은 $\frac{2}{3}$
- 두 수의 차가 $2$인 경우: $\{1, 3\}$ (1가지) $\rightarrow$ 확률은 $\frac{1}{3}$
(2) 주머니 B에서 꺼내는 경우 (공: {1, 2, 3, 4})
4개의 공 중에서 임의로 2개를 동시에 꺼내는 전체 경우의 수는 $\binom{4}{2} = 6$가지입니다.
- 두 수의 차가 $1$인 경우: $\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{3, 4\}$ (3가지) $\rightarrow$ 확률은 $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
- 두 수의 차가 $2$인 경우: $\{1, 3\}, \{2, 4\}$ (2가지) $\rightarrow$ 확률은 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
- 두 수의 차가 $3$인 경우: $\{1, 4\}$ (1가지) $\rightarrow$ 확률은 $\frac{1}{6}$
3단계: 한 번의 시행에서 나오는 '두 수의 차($Y$)'의 최종 확률분포 구하기
이제 주머니를 선택할 확률(1단계)과 각 주머니에서의 확률(2단계)을 결합하여, 한 번의 시행에서 $Y$가 $1, 2, 3$이 될 확률을 각각 구합니다.
- **$Y=1$일 확률**:
$$P(Y=1) = P(A) \times P(Y=1|A) + P(B) \times P(Y=1|B)$$
$$P(Y=1) = \left(\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}\right) = \frac{2}{9} + \frac{1}{3} = \frac{5}{9}$$
- **$Y=2$일 확률**:
$$P(Y=2) = P(A) \times P(Y=2|A) + P(B) \times P(Y=2|B)$$
$$P(Y=2) = \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{2}{3} \times \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$
- **$Y=3$일 확률**: (주머니 A에서는 차가 3이 나올 수 없으므로 주머니 B에서만 나옵니다.)
$$P(Y=3) = P(B) \times P(Y=3|B)$$
$$P(Y=3) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{9}$$
*(참고: 세 확률의 합이 $\frac{5}{9} + \frac{3}{9} + \frac{1}{9} = 1$이 되므로 계산이 정확하게 되었습니다!)*
4단계: 두 번의 시행의 평균 $\overline{X}$가 2가 되는 확률 구하기
이 시행을 2번 반복하여 얻은 두 개의 값을 각각 $Y_1, Y_2$라고 합시다.
이 두 값의 평균 $\overline{X}$는 다음과 같이 정의됩니다.
$$\overline{X} = \frac{Y_1 + Y_2}{2}$$
우리가 구하고자 하는 것은 $P(\overline{X} = 2)$이므로, 양변에 2를 곱하면 다음과 같습니다.
$$Y_1 + Y_2 = 4$$
두 수의 차 $Y_1, Y_2$는 각각 $1, 2, 3$의 값을 가질 수 있으므로, 더해서 $4$가 되는 순서쌍 $(Y_1, Y_2)$는 다음과 같이 세 가지 경우가 있습니다.
- **$(Y_1, Y_2) = (1, 3)$인 경우**:
$$P(Y_1=1) \times P(Y_2=3) = \frac{5}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{5}{81}$$
- **$(Y_1, Y_2) = (2, 2)$인 경우**:
$$P(Y_1=2) \times P(Y_2=2) = \frac{3}{9} \times \frac{3}{9} = \frac{9}{81}$$
- **$(Y_1, Y_2) = (3, 1)$인 경우**:
$$P(Y_1=3) \times P(Y_2=1) = \frac{1}{9} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{81}$$
이 세 가지 경우는 동시에 일어날 수 없는 독립적인 사건이므로, 각각의 확률을 모두 더해줍니다.
$$P(\overline{X} = 2) = \frac{5}{81} + \frac{9}{81} + \frac{5}{81} = \frac{19}{81}$$
답
정답은 ⑤번인 **$\frac{19}{81}$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
> 질문: 위와 동일한 시행 조건에서, 두 번 반복하여 기록한 두 수의 평균 $\overline{X}$가 **$1.5$**가 될 확률 $P(\overline{X} = 1.5)$는 어떻게 구할 수 있을까요? 식을 세워 직접 계산해 보세요! (힌트: 두 수의 합 $Y_1 + Y_2$가 얼마가 되어야 하는지 먼저 생각해 보세요.)