어떤 문제인가
이 문제는 여러 번 반복되는 독립적인 시행에서 특정 조건이 일어날 확률을 구하는 독립시행의 확률 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 한 번의 시행에서 카드가 뒤집힐 확률 구하기: 동전을 두 번 던질 때 앞면이 나오는 횟수에 따른 확률을 구합니다.
- 최종 상태가 되기 위한 조건 분석: 처음에 'A'였던 카드가 5번의 시행 후 'B'가 되려면 카드가 총 몇 번 뒤집혀야 하는지 파악합니다.
- 독립시행의 확률 공식 적용: 각 경우의 확률을 구하고 더해줍니다.
단계별 풀이
1단계: 한 번의 시행에서 카드가 뒤집힐 확률 구하기
먼저 동전을 두 번 던질 때 일어날 수 있는 모든 경우를 생각해 봅시다. 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라고 하면 전체 경우는 다음과 같이 총 4가지입니다.
$$\{HH, HT, TH, TT\}$$
이 중에서 카드를 뒤집는 조건은 '앞면이 나온 횟수가 2'인 경우입니다. 즉, $HH$가 나오는 경우뿐이므로 그 확률은 다음과 같습니다.
- 카드가 뒤집힐 확률: $P(\text{뒤집힘}) = \frac{1}{4}$
- 카드가 그대로 있을 확률: $P(\text{그대로}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
2단계: 5번 시행 후 카드가 'B'가 될 조건 생각하기
처음에 카드는 'A'(앞면) 상태입니다. 카드를 뒤집을 때마다 상태는 다음과 같이 변합니다.
- 0번 뒤집음: A
- 1번 뒤집음: B
- 2번 뒤집음: A
- 3번 뒤집음: B
- 4번 뒤집음: A
- 5번 뒤집음: B
규칙이 보이나요? 처음에 'A'였던 카드가 최종적으로 'B'가 되려면, 5번의 시행 동안 카드가 뒤집히는 횟수가 '홀수 번'(1번, 3번, 5번)이어야 합니다.
3단계: 각 경우의 확률 계산하기 (독립시행의 확률)
5번의 독립된 시행 중 카드가 뒤집히는 횟수를 $X$라고 합시다. 우리가 구하고자 하는 확률 $p$는 $X=1, 3, 5$일 확률의 합입니다. 독립시행의 확률 공식 $_nC_r \, p^r (1-p)^{n-r}$을 사용해 계산해 봅시다.
**① 카드가 1번 뒤집힐 확률 ($X=1$)**
$$P(X=1) = {_5C_1} \left(\frac{1}{4}\right)^1 \left(\frac{3}{4}\right)^4 = 5 \times \frac{1}{4} \times \frac{81}{256} = \frac{405}{1024}$$
**② 카드가 3번 뒤집힐 확률 ($X=3$)**
$$P(X=3) = {_5C_3} \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 10 \times \frac{1}{64} \times \frac{9}{16} = \frac{90}{1024}$$
**③ 카드가 5번 뒤집힐 확률 ($X=5$)**
$$P(X=5) = {_5C_5} \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{1024} \times 1 = \frac{1}{1024}$$
4단계: 전체 확률 $p$와 $128 \times p$ 구하기
세 확률은 서로 동시에 일어날 수 없는 사건(배반사건)이므로 모두 더해줍니다.
$$p = P(X=1) + P(X=3) + P(X=5)$$
$$p = \frac{405 + 90 + 1}{1024} = \frac{496}{1024}$$
이제 문제에서 요구한 $128 \times p$의 값을 계산해 봅시다.
$$128 \times p = 128 \times \frac{496}{1024}$$
$1024$는 $128 \times 8$이므로 식을 간단히 줄일 수 있습니다.
$$128 \times \frac{496}{1024} = \frac{496}{8} = 62$$
답
$$62$$
확인해보기
만약 이 시행을 5번이 아니라 총 4번만 반복했을 때, 마지막에 문자 'A'가 보이도록 카드가 놓일 확률을 구하려고 합니다. 이때 카드가 뒤집히는 횟수는 각각 몇 번이어야 할까요? (직접 확률을 구하지 말고, 뒤집히는 '횟수' 조건만 생각해보세요!)