어떤 문제인가
이 문제는 주어진 세 가지 조건(범위, 크기 순서, 홀짝 성질)을 모두 만족하는 네 자연수 $a, b, c, d$의 순서쌍 개수를 구하는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 수의 홀짝 성질: 두 수의 곱이 홀수가 되거나, 합이 짝수가 되는 조건을 분석합니다.
- **중복조합 ($H$):** $a \le b \le c \le d$처럼 크기가 순서대로 정해져 있으면서 같을 수도 있는 대상을 선택할 때 사용합니다.
- 경우의 수 나누기 (분류): 기준을 세워 복잡한 상황을 단순한 상황 여러 개로 나누어 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (나)를 해석하여 각 문자의 홀짝 성질 파악하기
먼저 조건 (나)를 분석해 봅시다.
- **조건 1: $a \times d$는 홀수이다.**
두 수를 곱해서 홀수가 되려면, 두 수 모두 홀수여야만 합니다.
따라서 **$a$와 $d$는 모두 홀수**입니다.
- **조건 2: $b+c$는 짝수이다.**
두 수의 합이 짝수가 되려면, 두 수의 홀짝 성질이 같아야 합니다.
따라서 **$b$와 $c$는 둘 다 홀수이거나, 둘 다 짝수**여야 합니다.
1부터 13 이하의 자연수 중에서 홀수와 짝수를 분류해 놓으면 문제 풀이가 편해집니다.
- 홀수: $\{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\}$ (총 7개)
- 짝수: $\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ (총 6개)
2단계: $a$와 $d$를 먼저 결정하기
조건 (가)에서 $a \le b \le c \le d$이므로, 가장 바깥쪽에 있는 $a$와 $d$의 값을 먼저 정해주는 것이 좋습니다. $a$와 $d$는 7개의 홀수 중에서 선택해야 합니다.
7개의 홀수 중에서 $a$와 $d$를 정하는 방법을 쉽게 나타내기 위해, 홀수를 크기 순서대로 $x$번째, $y$번째 홀수라고 해봅시다. ($1 \le x \le y \le 7$)
이때 두 홀수의 위치 차이를 $k = y - x$라고 합시다. $k$는 $0$부터 $6$까지의 값을 가질 수 있습니다.
예를 들어, $a$가 1번째 홀수($1$)이고 $d$가 3번째 홀수($5$)라면 $k = 3 - 1 = 2$가 됩니다.
3단계: $k$의 값에 따라 $b, c$를 선택하는 경우의 수 구하기
$a$와 $d$가 정해지면, 그 사이에 있는 $b$와 $c$는 $a \le b \le c \le d$를 만족해야 합니다.
$a$와 $d$ 사이(양 끝 포함)에 존재하는 홀수와 짝수의 개수를 $k$를 이용해 나타내면 다음과 같습니다.
- 홀수의 개수: $k + 1$개
- 짝수의 개수: $k$개
이제 $b+c$가 짝수가 되는 두 가지 경우로 나누어 중복조합을 적용해 봅시다.
경우 1) $b$와 $c$가 모두 홀수인 경우
$a$와 $d$ 사이의 홀수 $k+1$개 중에서 중복을 허용하여 2개($b, c$)를 선택하는 경우의 수입니다.
$$_{k+1}H_2 = \binom{(k+1) + 2 - 1}{2} = \binom{k+2}{2} = \frac{(k+2)(k+1)}{2}$$
경우 2) $b$와 $c$가 모두 짝수인 경우
$a$와 $d$ 사이의 짝수 $k$개 중에서 중복을 허용하여 2개($b, c$)를 선택하는 경우의 수입니다.
$$_{k}H_2 = \binom{k + 2 - 1}{2} = \binom{k+1}{2} = \frac{(k+1)k}{2}$$
두 경우의 합 구하기
$b, c$를 정하는 총 경우의 수는 두 경우를 더한 것입니다.
$$\text{경우의 수} = \frac{(k+2)(k+1)}{2} + \frac{(k+1)k}{2} = \frac{k+1}{2} \cdot (k+2+k) = \frac{k+1}{2} \cdot (2k+2) = (k+1)^2$$
놀랍게도 $a$와 $d$의 위치 차이가 $k$일 때, 만족하는 $b, c$의 순서쌍 개수는 항상 $(k+1)^2$개로 아주 깔끔하게 정리됩니다!
4단계: 모든 $k$에 대해 계산하고 더하기
이제 $k$의 값($0$부터 $6$까지)에 따라 가능한 $a, d$ 쌍의 개수와 그때의 $b, c$ 경우의 수를 곱해서 모두 더해봅시다.
$1 \le x \le y \le 7$에서 $y - x = k$를 만족하는 $(x, y)$ 쌍의 개수는 $7 - k$개입니다.
| $k$ | $a, d$ 쌍의 개수 ($7-k$) | $b, c$ 쌍의 개수 ($(k+1)^2$) | 총 경우의 수 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $0$ | $7$ | $1^2 = 1$ | $7 \times 1 = 7$ |
| $1$ | $6$ | $2^2 = 4$ | $6 \times 4 = 24$ |
| $2$ | $5$ | $3^2 = 9$ | $5 \times 9 = 45$ |
| $3$ | $4$ | $4^2 = 16$ | $4 \times 16 = 64$ |
| $4$ | $3$ | $5^2 = 25$ | $3 \times 25 = 75$ |
| $5$ | $2$ | $6^2 = 36$ | $2 \times 36 = 72$ |
| $6$ | $1$ | $7^2 = 49$ | $1 \times 49 = 49$ |
이제 이 값들을 모두 더해줍니다.
$$\text{전체 개수} = 7 + 24 + 45 + 64 + 75 + 72 + 49$$
차근차근 더해볼까요?
- $7 + 24 = 31$
- $31 + 45 = 76$
- $76 + 64 = 140$
- $140 + 75 = 215$
- $215 + 72 = 287$
- $287 + 49 = 336$
답
조건을 만족하는 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수는 **$336$**입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해봅시다.
질문:
만약 조건 (나)가 다음과 같이 바뀐다면, $a, b, c, d$ 각각은 홀수여야 할까요, 짝수여야 할까요?
> (나) $a + d$는 홀수이고, $b \times c$는 홀수이다.