어떤 문제인가
이 문제는 로그함수의 극한값을 구하는 문제입니다. 우리가 배운 로그함수의 극한 공식 중 가장 기본이 되는 형태를 기억하고, 식을 그 모양에 맞게 변형할 수 있는지를 묻고 있어요.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 자연로그의 극한 기본 공식: $\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1$
- 식의 변형 (형태 맞추기): 로그 안의 $1 + \square$에서 $\square$ 부분과 분모의 모양을 똑같이 맞춰주는 기술이 필요합니다.
단계별 풀이
1단계: 기본 공식 모양 기억하기
우리가 알고 있는 가장 강력한 무기는 바로 이 공식입니다.
$$ \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1 $$
이 공식의 핵심은 **"$\ln(1 + \text{네모})$ 밑에 똑같은 모양의 $\text{네모}$가 분모에 있어야 하고, 그 네모가 $0$으로 가야 한다"**는 점입니다.
주어진 식 $\frac{\ln(1+3x)}{\ln(1+5x)}$을 보면, 분자에는 $3x$가 있고 분모에는 $5x$가 있어서 공식의 모양과 조금 다릅니다. 이제 이 모양을 억지로 만들어 줄 것입니다.
2단계: 분자와 분모에 필요한 모양 만들어주기
분자의 $\ln(1+3x)$가 공식처럼 작동하려면 분모에 $3x$가 필요합니다.
마찬가지로 분모의 $\ln(1+5x)$가 공식처럼 작동하려면 분모에 $5x$가 필요합니다.
수학에서는 식의 값을 변하지 않게 하면서 원하는 모양을 만들기 위해, "곱했다가 다시 나누는" 방법을 씁니다. 분자와 분모를 각각 변형해 봅시다.
- 분자 변형:
$$ \ln(1+3x) = \frac{\ln(1+3x)}{3x} \cdot 3x $$
- 분모 변형:
$$ \ln(1+5x) = \frac{\ln(1+5x)}{5x} \cdot 5x $$
3단계: 식을 합치고 극한값 계산하기
이제 변형한 식들을 원래 분수식에 대입해 봅시다.
$$ \frac{\ln(1+3x)}{\ln(1+5x)} = \frac{\frac{\ln(1+3x)}{3x} \cdot 3x}{\frac{\ln(1+5x)}{5x} \cdot 5x} $$
여기서 분자와 분모에 공통으로 있는 $x$를 약분하여 없앨 수 있습니다.
$$ = \frac{\frac{\ln(1+3x)}{3x}}{\frac{\ln(1+5x)}{5x}} \cdot \frac{3}{5} $$
이제 $x \to 0$일 때의 극한을 적용해 봅시다.
$x \to 0$이면 $3x \to 0$이고 $5x \to 0$이므로, 우리가 1단계에서 확인한 공식에 의해 다음이 성립합니다.
- $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+3x)}{3x} = 1$
- $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+5x)}{5x} = 1$
따라서 전체 극한값은 다음과 같이 계산됩니다.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+3x)}{\ln(1+5x)} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5} $$
답
**③ $\frac{3}{5}$**
확인해보기
오늘 배운 '모양 맞추기' 방법을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 극한값은 얼마가 될지 직접 식을 변형해서 구해보세요!
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+4x)}{2x} $$