어떤 문제인가
이 문제는 매개변수 $t$로 나타내어진 곡선에서 접선의 기울기, 즉 **$\frac{dy}{dx}$의 값**을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 매개변수 함수의 미분법: $x$와 $y$가 각각 $t$에 대한 함수로 주어졌을 때, $\frac{dy}{dx}$를 구하는 방법은 각 변수를 $t$로 미분하여 나누는 것입니다.
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad \left(\text{단, } \frac{dx}{dt} \neq 0\right)$$
- 합성함수의 미분법: $\ln(f(t))$와 $\sin(g(t))$ 형태의 함수를 미분할 때 사용하는 공식입니다.
단계별 풀이
1단계: 매개변수 미분법 공식 세우기
우리가 구하고자 하는 것은 $\frac{dy}{dx}$입니다. 하지만 $y$가 $x$에 대한 식으로 직접 주어지지 않고, $x$와 $y$가 모두 $t$에 대한 식으로 주어져 있습니다.
따라서 매개변수 미분법 공식에 의해 다음을 먼저 구해야 합니다.
- $x$를 $t$로 미분한 것: $\frac{dx}{dt}$
- $y$를 $t$로 미분한 것: $\frac{dy}{dt}$
2단계: $\frac{dx}{dt}$ 구하기
$x = \ln(t^3+1)$을 $t$에 대해 미분해 봅시다.
로그함수의 미분법과 합성함수의 미분법을 적용합니다. ($\ln(f(t))$를 미분하면 $\frac{f'(t)}{f(t)}$가 됩니다.)
$$\frac{dx}{dt} = \frac{(t^3+1)'}{t^3+1} = \frac{3t^2}{t^3+1}$$
3단계: $\frac{dy}{dt}$ 구하기
$y = \sin \pi t$를 $t$에 대해 미분해 봅시다.
삼각함수의 미분법과 합성함수의 미분법을 적용합니다. ($\sin(g(t))$를 미분하면 $\cos(g(t)) \cdot g'(t)$가 됩니다.)
$$\frac{dy}{dt} = \cos(\pi t) \cdot (\pi t)' = \pi \cos \pi t$$
4단계: $t=1$ 대입하여 값 구하기
이제 우리가 구한 $\frac{dx}{dt}$와 $\frac{dy}{dt}$에 각각 $t=1$을 대입하여 구체적인 값을 구합니다.
- $t=1$일 때, $\frac{dx}{dt}$의 값:
$$\frac{dx}{dt}\Big|_{t=1} = \frac{3 \cdot 1^2}{1^3+1} = \frac{3}{2}$$
- $t=1$일 때, $\frac{dy}{dt}$의 값:
$$\frac{dy}{dt}\Big|_{t=1} = \pi \cos(\pi \cdot 1) = \pi \cos \pi$$
이때 $\cos \pi = -1$이므로,
$$\frac{dy}{dt}\Big|_{t=1} = \pi \cdot (-1) = -\pi$$
5단계: 최종 $\frac{dy}{dx}$ 계산하기
구한 값들을 공식에 대입합니다.
$$\frac{dy}{dx}\Big|_{t=1} = \frac{\frac{dy}{dt}\Big|_{t=1}}{\frac{dx}{dt}\Big|_{t=1}} = \frac{-\pi}{\frac{3}{2}} = -\pi \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}\pi$$
답
**② $-\frac{2}{3}\pi$**
확인해보기
매개변수 미분법을 잘 이해했는지 스스로 확인해 봅시다.
> [질문]
> 매개변수 $t$로 나타내어진 곡선 $x = t^2$, $y = t^3 - 3t$가 있습니다. $t=2$일 때, 이 곡선의 접선의 기울기 $\frac{dy}{dx}$의 값은 얼마일까요? 직접 계산해 보세요!