어떤 문제인가
이 문제는 복잡해 보이는 적분 기호 안의 식을 정리하여 원래 함수 $f(x)$를 구해내는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 역함수의 미분법: 함수 $f(x)$와 그 역함수 $g(x)$ 사이의 미분 관계인 $g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}$를 이용합니다.
- **치환적분 ($\frac{f'(x)}{f(x)}$의 적분)**: 분모에 함수가 있고 분자에 그 함수의 도함수가 있는 꼴의 적분은 로그함수($\ln$)로 표현된다는 성질을 이용합니다.
- 로그의 성질: 로그의 덧셈과 뺄셈을 이용해 복잡한 식을 간단한 곱과 몫으로 정리합니다.
단계별 풀이
1단계: 역함수의 미분법으로 피적분함수 단순화하기
적분 기호 안에 있는 $\frac{1}{g'(f(x))f(x)}$라는 식이 조금 복잡해 보이죠? 이 식을 먼저 간단하게 만들어 봅시다.
$g(x)$가 $f(x)$의 역함수이므로, 두 함수를 합성하면 항등함수가 됩니다.
$$g(f(x)) = x$$
이 식의 양변을 $x$에 대해 미분하면 (합성함수의 미분법에 의해) 다음과 같습니다.
$$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$$
이 식을 정리하면 $g'(f(x))$와 $f'(x)$의 관계를 얻을 수 있습니다.
$$\frac{1}{g'(f(x))} = f'(x)$$
이제 이 관계식을 문제의 적분 식에 대입해 봅시다. 분모에 있던 $g'(f(x))$가 분자의 $f'(x)$로 바뀌면서 식이 아주 간단해집니다!
$$\int_{1}^{a} \frac{1}{g'(f(x))f(x)} dx = \int_{1}^{a} \frac{f'(x)}{f(x)} dx$$
2단계: 좌변의 정적분 계산하기
이제 좌변의 정적분 $\int_{1}^{a} \frac{f'(x)}{f(x)} dx$를 계산해 봅시다.
우리는 $(\ln|f(x)|)' = \frac{f'(x)}{f(x)}$라는 사실을 알고 있습니다. 문제에서 $f(1) = 8 > 0$이고 양의 실수 전체에서 정의된 미분가능한 함수이므로, 구간 내에서 $f(x) > 0$이라고 생각하고 절대값 기호를 생략하겠습니다.
정적분을 계산하면 다음과 같습니다.
$$\int_{1}^{a} \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \Big[ \ln(f(x)) \Big]_{1}^{a} = \ln(f(a)) - \ln(f(1))$$
문제에서 $f(1) = 8$이라고 주어졌으므로, 대입하면 다음과 같습니다.
$$\ln(f(a)) - \ln 8$$
3단계: 우변과 비교하여 $f(a)$ 구하기
이제 구한 좌변의 식과 문제에 주어진 우변의 식을 같다고 놓습니다.
$$\ln(f(a)) - \ln 8 = 2\ln a + \ln(a+1) - \ln 2$$
좌변의 $-\ln 8$을 우변으로 이항하여 정리해 봅시다.
$$\ln(f(a)) = 2\ln a + \ln(a+1) - \ln 2 + \ln 8$$
로그의 성질을 이용해서 우변을 하나의 로그로 합쳐보겠습니다.
- $2\ln a = \ln(a^2)$
- $\ln 8 - \ln 2 = \ln\left(\frac{8}{2}\right) = \ln 4$
이 성질들을 적용하면,
$$\ln(f(a)) = \ln(a^2) + \ln(a+1) + \ln 4$$
$$\ln(f(a)) = \ln\left(4 \cdot a^2 \cdot (a+1)\right)$$
양변의 로그를 떼어내면, 함수 $f(a)$의 식을 얻을 수 있습니다.
$$f(a) = 4a^2(a+1)$$
4단계: $f(2)$의 값 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 $f(2)$입니다. 위에서 구한 식에 $a = 2$를 대입해 봅시다.
$$f(2) = 4 \cdot 2^2 \cdot (2+1)$$
$$f(2) = 4 \cdot 4 \cdot 3 = 48$$
답
정답은 **④ $48$** 입니다.
확인해보기
공부를 잘 마쳤는지 스스로 점검해 보세요!
질문: 함수 $h(x)$가 미분가능하고 $h(x) > 0$일 때, $\int \frac{h'(x)}{h(x)} dx$가 왜 $\ln(h(x)) + C$가 되는지 치환적분법을 이용하여 설명해 볼 수 있나요? (직접 종이에 유도해 보세요.)