어떤 문제인가
이 문제는 주어진 곡선과 $x$축으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하고, $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 머릿속에 정리해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 입체도형의 부피와 정적분: 어떤 구간 $[a, b]$에서 $x$축에 수직인 단면의 넓이가 $S(x)$일 때, 입체도형의 부피 $V$는 단면의 넓이를 쌓아서 구합니다. 즉, $V = \int_{a}^{b} S(x) \, dx$ 입니다.
- 정사각형의 넓이: 한 변의 길이가 $y$인 정사각형의 넓이는 $y^2$입니다.
- 부분적분법 (Integration by Parts): 다항함수와 삼각함수가 곱해진 형태의 적분을 해결하기 위해 $\int u v' \, dx = uv - \int u' v \, dx$ 공식을 사용합니다.
단계별 풀이
1단계: 단면의 넓이 $S(x)$ 구하기
입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면은 한 변의 길이가 곡선의 $y$ 좌표인 정사각형입니다.
따라서 $x$에서의 단면의 넓이 $S(x)$는 다음과 같이 한 변의 길이를 제곱하여 구할 수 있습니다.
$$S(x) = y^2 = \left(\sqrt{(1-2x)\cos x}\right)^2 = (1-2x)\cos x$$
2단계: 부피를 구하기 위한 정적분 식 세우기
구하고자 하는 입체도형의 부피 $V$는 $x$의 범위가 $\frac{3}{4}\pi$부터 $\frac{5}{4}\pi$까지일 때 단면의 넓이 $S(x)$를 정적분한 값입니다.
$$V = \int_{\frac{3}{4}\pi}^{\frac{5}{4}\pi} (1-2x)\cos x \, dx$$
3단계: 부분적분법을 이용하여 부정적분 구하기
적분 기호 안의 함수가 (다항함수) $\times$ (삼각함수) 꼴이므로 부분적분법을 사용합니다.
- $u = 1-2x \implies u' = -2$
- $v' = \cos x \implies v = \sin x$
부분적분 공식 $\int u v' \, dx = uv - \int u' v \, dx$를 적용해 봅시다.
$$\int (1-2x)\cos x \, dx = (1-2x)\sin x - \int (-2)\sin x \, dx$$
$$\int (1-2x)\cos x \, dx = (1-2x)\sin x + 2\int \sin x \, dx$$
$$\int (1-2x)\cos x \, dx = (1-2x)\sin x - 2\cos x + C$$
따라서 피적분함수의 부정적분 $F(x)$는 다음과 같습니다.
$$F(x) = (1-2x)\sin x - 2\cos x$$
4단계: 위끝과 아래끝을 대입하여 계산하기
이제 정적분의 값을 계산하기 위해 위끝 $x = \frac{5}{4}\pi$와 아래끝 $x = \frac{3}{4}\pi$를 대입해 봅시다.
먼저, 필요한 삼각함수 값을 정리해 둘까요?
- $\sin\left(\frac{5}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(\frac{5}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
**1) 위끝 $x = \frac{5}{4}\pi$ 대입:**
$$F\left(\frac{5}{4}\pi\right) = \left(1 - 2 \cdot \frac{5}{4}\pi\right)\sin\left(\frac{5}{4}\pi\right) - 2\cos\left(\frac{5}{4}\pi\right)$$
$$= \left(1 - \frac{5}{2}\pi\right)\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$= -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{4}\pi + \sqrt{2}$$
$$= \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{4}\pi$$
**2) 아래끝 $x = \frac{3}{4}\pi$ 대입:**
$$F\left(\frac{3}{4}\pi\right) = \left(1 - 2 \cdot \frac{3}{4}\pi\right)\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right) - 2\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right)$$
$$= \left(1 - \frac{3}{2}\pi\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$= \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{4}\pi + \sqrt{2}$$
$$= \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{4}\pi$$
**3) 최종 부피 $V$ 계산:**
$$V = F\left(\frac{5}{4}\pi\right) - F\left(\frac{3}{4}\pi\right)$$
$$V = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{4}\pi\right) - \left(\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{4}\pi\right)$$
$$V = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{5\sqrt{2}}{4}\pi + \frac{3\sqrt{2}}{4}\pi\right)$$
$$V = -\sqrt{2} + \frac{8\sqrt{2}}{4}\pi$$
$$V = 2\sqrt{2}\pi - \sqrt{2}$$
답
정답은 ③번인 $2\sqrt{2}\pi - \sqrt{2}$ 입니다.
확인해보기
만약 이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 정사각형이 아니라, **한 변의 길이가 $y$인 정삼각형**이었다면 부피를 구하는 식은 어떻게 변했을까요? 단면의 넓이 $S(x)$를 구하는 식을 스스로 세워보세요.