안녕! 오늘도 수학 실력을 한 단계 높이기 위해 함께 문제를 풀어보자. 이 문제는 접선의 방정식과 매개변수(또는 음함수)의 미분법이 결합된 아주 좋은 문제야. 차근차근 단계를 밟아가면 어렵지 않게 해결할 수 있으니 잘 따라와 봐!
어떤 문제인가
이 문제는 곡선 밖의 한 점(원점)에서 곡선에 그은 접선의 기울기를 구하고, 그 기울기 함수 $f(t)$의 미분계수 $f'(a)$를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식: 접점의 좌표를 임의로 설정하고 접선의 방정식을 세우는 방법
- 합성함수의 미분법 (체인 룰): $t$와 $f(t)$ 사이의 관계식을 미분할 때 사용하는 미분법
- 로그의 성질: 지수와 로그의 관계를 이용해 식을 정리하는 방법
단계별 풀이
1단계: 접점의 좌표를 설정하고 접선의 방정식 세우기
곡선 위의 임의의 접점의 $x$좌표를 $s$라고 합시다. 그러면 접점의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\left(s, e^{-s} + e^t\right)$$
이 곡선을 $y = g(x) = e^{-x} + e^t$라고 하면, 도함수는 $g'(x) = -e^{-x}$입니다.
따라서 $x=s$에서의 접선의 기울기는 $-e^{-s}$가 됩니다.
이제 접선의 방정식을 세워볼까요?
$$y - (e^{-s} + e^t) = -e^{-s}(x - s)$$
정리하면 다음과 같습니다.
$$y = -e^{-s}x + se^{-s} + e^{-s} + e^t$$
2단계: 접선이 원점 $(0,0)$을 지난다는 조건 적용하기
이 접선이 원점을 지난다고 했으므로, $x=0, y=0$을 대입합니다.
$$0 = -e^{-s}(0) + se^{-s} + e^{-s} + e^t$$
$$0 = (s+1)e^{-s} + e^t$$
이 식을 $e^t$에 대해 정리하면 다음과 같은 중요한 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$e^t = -(s+1)e^{-s} \quad \cdots \text{(식 1)}$$
*(참고: $e^t > 0$이고 $e^{-s} > 0$이므로, 이 식이 성립하려면 $s+1 < 0$, 즉 $s < -1$이어야 합니다.)*
3단계: 기울기 $f(t)$와 $t$의 관계식 만들기
문제에서 원점을 지나는 접선의 기울기를 $f(t)$라고 정의했습니다. 1단계에서 구한 접선의 기울기가 $-e^{-s}$였으므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$f(t) = -e^{-s}$$
이 식의 양변에 자연로그를 취해 $s$를 $f(t)$에 대한 식으로 나타내 봅시다.
$$-f(t) = e^{-s} \implies \ln(-f(t)) = -s \implies s = -\ln(-f(t))$$
이제 $e^{-s} = -f(t)$와 $s = -\ln(-f(t))$를 (식 1)에 대입해 봅시다.
$$e^t = -(-\ln(-f(t)) + 1)(-f(t))$$
$$e^t = (1 - \ln(-f(t)))f(t) \quad \cdots \text{(식 2)}$$
4단계: $t=a$일 때의 값 구하기
문제에서 $f(a) = -e\sqrt{e} = -e^{3/2}$라고 주어졌습니다. (식 2)에 $t=a$를 대입해 봅시다.
$$e^a = (1 - \ln(-f(a)))f(a)$$
$$e^a = (1 - \ln(e^{3/2}))(-e^{3/2})$$
$$e^a = \left(1 - \frac{3}{2}\right)(-e^{3/2}) = \left(-\frac{1}{2}\right)(-e^{3/2}) = \frac{1}{2}e^{3/2} \quad \cdots \text{(식 3)}$$
5단계: 양변을 미분하여 $f'(a)$ 구하기
이제 (식 2)의 양변을 $t$에 대해 미분해 봅시다. 우변은 곱의 미분법과 합성함수의 미분법을 사용해야 합니다.
우변의 함수를 미분하기 위해 잠시 $y = (1 - \ln(-x))x$를 $x$에 대해 미분해 보면:
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{-x}(-1) \cdot x + (1 - \ln(-x)) \cdot 1 = -1 + 1 - \ln(-x) = -\ln(-x)$$
따라서 합성함수의 미분법에 의해 (식 2)를 $t$로 미분하면 다음과 같습니다.
$$e^t = -\ln(-f(t)) \cdot f'(t)$$
여기에 $t=a$를 대입합니다.
$$e^a = -\ln(-f(a)) \cdot f'(a)$$
우리가 앞서 구한 $e^a = \frac{1}{2}e^{3/2}$와 $f(a) = -e^{3/2}$를 대입해 정리해 봅시다.
$$\frac{1}{2}e^{3/2} = -\ln(e^{3/2}) \cdot f'(a)$$
$$\frac{1}{2}e^{3/2} = -\frac{3}{2}f'(a)$$
양변을 $-\frac{3}{2}$으로 나누면 최종적으로 $f'(a)$를 구할 수 있습니다.
$$f'(a) = -\frac{1}{3}e^{3/2} = -\frac{1}{3}e\sqrt{e}$$
답
정답은 ① $-\frac{1}{3}e\sqrt{e}$ 입니다.
확인해보기
접선이 원점을 지나기 위해 유도된 식 $e^t = -(s+1)e^{-s}$에서, 왜 접점의 $x$좌표인 $s$는 항상 $-1$보다 작아야만 할까요? 식의 좌변과 우변의 부호를 생각하며 스스로 설명해 보세요.