반갑습니다! 수학을 함께 차근차근 정복해 나갈 여러분의 수학·물리 교사입니다.
오늘 가져온 문제는 겉보기에는 복잡해 보이지만, 함수의 그래프 개형, 합성함수의 성질, 그리고 치환적분이라는 강력한 도구들을 하나씩 적용하면 실타래 풀리듯 풀리는 아주 좋은 문제입니다. 겁먹지 말고 선생님과 함께 한 단계씩 나아가 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건들을 분석하여 정의되지 않은 구간($x \ge 0$)에서의 함수 $f(x)$의 식을 찾아내고, 정적분을 통해 미지수를 구하는 문제입니다. 우리가 주목해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 방정식의 실근과 그래프의 교점: 방정식 $f(x) = t$의 실근은 함수 $y=f(x)$의 그래프와 가로선 $y=t$가 만나는 교점의 $x$좌표입니다.
- 함수의 대칭성과 평행이동: 두 실근 $g(t)$와 $h(t)$ 사이의 관계식 $2g(t) + h(t) = k$를 통해 $x>0$ 영역에서의 함수 식을 유도합니다.
- 치환적분법: 복잡한 지수함수의 적분을 치환적분을 이용해 간단히 해결합니다.
단계별 풀이
1단계: $x < 0$일 때 $f(x)$의 특징 파악하기
먼저 주어진 식 $f(x) = -4xe^{4x^2}$ ($x < 0$)의 그래프가 어떻게 그려지는지 알아봅시다.
- 부호 확인: $x < 0$이므로 $-4x > 0$이고, 지수함수 $e^{4x^2} > 0$입니다. 따라서 $x < 0$ 영역에서 $f(x) > 0$입니다.
- 극한값 확인:
* $x \to -\infty$일 때, $f(x) \to \infty$로 발산합니다.
* $x \to 0^-$일 때, $f(x) \to 0$으로 수렴합니다.
- 연속성: $f(x)$는 실수 전체에서 연속이고 $f(x) \ge 0$이므로, $f(0) = 0$이어야 합니다.
단조성도 도함수로 확인해 봅시다.
$$f'(x)=-4e^{4x^2}(1+8x^2)<0$$
따라서 $x<0$에서 엄격히 감소하며, 각 양수 $t$에 대해 음수인 실근은 정확히 하나입니다.
즉, $x < 0$에서 $f(x)$는 $x$가 음의 무한대에서 $0$으로 갈 때, 양의 무한대에서 $0$으로 감소하는 형태의 그래프를 가집니다.
2단계: $x > 0$에서의 $f(x)$의 개형과 $k$의 의미 이해하기
양수 $t$에 대하여 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수가 항상 2개라고 했습니다.
하나는 음수 영역에 있는 $g(t)$이고, 다른 하나는 양수 영역에 있는 $h(t)$입니다. 즉, $g(t) < 0 < h(t)$입니다.
문제에서 주어진 관계식은 다음과 같습니다.
$$2g(t) + h(t) = k \implies h(t) = k - 2g(t)$$
여기서 아주 중요한 사실을 알 수 있습니다.
- $t \to 0^+$일 때, 음수 실근 $g(t)$는 $0$에 한없이 가까워집니다 ($g(t) \to 0^-$).
- 이때 $h(t) \to k - 2(0) = k$가 됩니다. 모든 양수 $t$에서 $h(t)>0$이므로, 그 극한인 $k$는 $0$ 이상입니다.
- 그런데 $f(x)$는 연속함수이고 $f(0)=0$이므로, $t \to 0^+$일 때 $h(t)$가 향하는 값 $k$에서도 함숫값은 $0$이어야 합니다. 즉, $f(k) = 0$입니다.
- 만약 $0<x_0<k$에서 $f(x_0)=t_0>0$이라면, $f(x)=t_0$의 두 실근 $g(t_0)<0$과 $h(t_0)=k-2g(t_0)>k$ 이외에 $x_0$가 또 하나의 실근이 됩니다. 이는 실근이 정확히 두 개라는 조건에 어긋납니다. 따라서 $f(x)\ge0$과 연속성을 함께 이용하면 $0\le x\le k$에서 $f(x)=0$입니다.
따라서, $0 \le x \le k$에서 $f(x) = 0$입니다.
3단계: $x > k$일 때 $f(x)$의 식 구하기
이제 $x > k$인 영역에서 $f(x)$의 식을 구해보겠습니다.
$x = h(t)$라고 하면, $x > k$입니다. 이때 관계식에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$g(t) = \frac{k - x}{2}$$
$f(g(t)) = t$이고 $f(h(t)) = t$이므로, 두 함숫값은 같습니다.
$$f(x) = f(g(t)) = f\left(\frac{k-x}{2}\right)$$
여기서 $x > k$이므로 $\frac{k-x}{2} < 0$입니다. 즉, 음수 영역에서의 $f(x)$ 공식을 사용할 수 있습니다!
$$f\left(\frac{k-x}{2}\right) = -4\left(\frac{k-x}{2}\right) e^{4\left(\frac{k-x}{2}\right)^2}$$
이를 정리하면 다음과 같습니다.
$$f(x) = 2(x-k) e^{(x-k)^2} \quad (x > k)$$
4단계: 정적분 값을 이용해 $k$ 구하기
주어진 정적분 조건 $\int_{0}^{7} f(x) dx = e^4 - 1$을 이용해 $k$를 구합시다.
먼저 $k\ge7$이라면 $[0,7]$ 전체에서 $f(x)=0$이므로 적분값도 $0$입니다. 그런데 주어진 적분값 $e^4-1$은 양수이므로, 반드시 $0\le k<7$입니다.
$0 \le x \le k$에서는 $f(x) = 0$이므로, 적분 구간을 나누어 계산합니다.
$$\int_{0}^{7} f(x) dx = \int_{0}^{k} 0 dx + \int_{k}^{7} 2(x-k) e^{(x-k)^2} dx = \int_{k}^{7} 2(x-k) e^{(x-k)^2} dx$$
이 적분을 풀기 위해 치환적분을 사용합니다.
- $u = (x-k)^2$로 치환하면, $du = 2(x-k)dx$가 됩니다.
- 적분 구간은 $x = k$일 때 $u = 0$, $x = 7$일 때 $u = (7-k)^2$이 됩니다.
$$\int_{k}^{7} 2(x-k) e^{(x-k)^2} dx = \int_{0}^{(7-k)^2} e^u du = \left[ e^u \right]_{0}^{(7-k)^2} = e^{(7-k)^2} - 1$$
이 값이 $e^4 - 1$과 같아야 하므로,
$$(7-k)^2 = 4$$
$7-k = 2$ 또는 $7-k = -2$입니다.
- $k = 5$ 또는 $k = 9$
- 앞에서 주어진 적분값이 양수라는 조건으로 $k<7$을 확인했으므로, $k=5$입니다.
5단계: 최종 값 계산하기
$k=5$이므로, $x > 5$일 때 $f(x) = 2(x-5)e^{(x-5)^2}$입니다.
우리가 구하고자 하는 값은 $\frac{f(9)}{f(8)}$입니다.
- $f(9) = 2(9-5)e^{(9-5)^2} = 2 \cdot 4 \cdot e^{16} = 8e^{16}$
- $f(8) = 2(8-5)e^{(8-5)^2} = 2 \cdot 3 \cdot e^9 = 6e^9$
따라서,
$$\frac{f(9)}{f(8)} = \frac{8e^{16}}{6e^9} = \frac{4}{3}e^7$$
답
정답은 ② $\frac{4}{3}e^7$ 입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해봅시다.
질문: 만약 문제에서 두 실근의 관계식이 $2g(t) + h(t) = k$ 대신, $g(t) + h(t) = 0$으로 주어졌다면, 함수 $y=f(x)$의 그래프는 어떤 대칭성을 가질까요? 두 실근의 위치가 원점을 기준으로 어떻게 대응하는지 설명해 보세요.