어떤 문제인가
이 문제는 두 등비수열의 곱으로 만들어진 새로운 수열의 급수 성질과, 수열의 항에 절댓값을 씌운 급수의 성질을 이용하여 공비를 구하고, 최종적으로 주어진 급수의 합을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 등비급수의 수렴 조건과 합: 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1}$은 $|r| < 1$일 때 수렴하며, 그 합은 $\frac{a}{1-r}$입니다.
- 새로운 수열의 첫째항과 공비 찾기: 수열을 변형하거나 두 수열을 곱했을 때, 새로운 수열의 첫째항과 공비가 어떻게 변하는지 파악하는 능력입니다.
단계별 풀이
1단계: 두 수열의 공비 사이의 관계식 구하기
먼저 두 등비수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$의 첫째항을 각각 $a, b$ ($a \neq 0, b \neq 0$), 공비를 각각 $r, s$라고 합시다.
두 급수가 각각 수렴하므로 공비의 범위는 $|r| < 1$, $|s| < 1$입니다.
이때 두 수열의 일반항은 다음과 같습니다.
$$a_n = a r^{n-1}, \quad b_n = b s^{n-1}$$
두 수열의 곱인 $a_n b_n$은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$a_n b_n = (a r^{n-1})(b s^{n-1}) = ab (rs)^{n-1}$$
이 수열 역시 첫째항이 $ab$이고 공비가 $rs$인 등비수열입니다. $|rs| < 1$이므로 이 급수도 수렴합니다.
이제 첫 번째 조건식에 등비급수 합 공식을 적용해 봅시다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \left( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \right) \times \left( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \right)$$
$$\frac{ab}{1-rs} = \frac{a}{1-r} \times \frac{b}{1-s}$$
양변을 $ab$ ($a \neq 0, b \neq 0$이므로 $ab \neq 0$)로 나누면 다음과 같습니다.
$$\frac{1}{1-rs} = \frac{1}{(1-r)(1-s)}$$
분모가 서로 같아야 하므로 식을 전개하여 정리합니다.
$$1-rs = (1-r)(1-s)$$
$$1-rs = 1 - r - s + rs$$
$$2rs = r + s \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
2단계: 절댓값이 포함된 급수에서 공비 $r$의 크기 구하기
두 번째 조건은 수열의 항에 절댓값을 씌운 급수입니다.
$$3 \times \sum_{n=1}^{\infty} |a_{2n}| = 7 \times \sum_{n=1}^{\infty} |a_{3n}|$$
각 급수의 첫째항과 공비를 구해봅시다.
- **수열 $\{|a_{2n}|\}$**:
$a_{2n} = a r^{2n-1} = (ar) \cdot (r^2)^{n-1}$ 이므로, 절댓값을 씌우면
$$|a_{2n}| = |ar| \cdot (|r|^2)^{n-1}$$
첫째항은 $|ar|$, 공비는 $|r|^2$인 등비수열입니다. 따라서 급수의 합은 다음과 같습니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} |a_{2n}| = \frac{|ar|}{1-|r|^2}$$
- **수열 $\{|a_{3n}|\}$**:
$a_{3n} = a r^{3n-1} = (ar^2) \cdot (r^3)^{n-1}$ 이므로, 절댓값을 씌우면
$$|a_{3n}| = |ar^2| \cdot (|r|^3)^{n-1}$$
첫째항은 $|ar^2|$, 공비는 $|r|^3$인 등비수열입니다. 따라서 급수의 합은 다음과 같습니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} |a_{3n}| = \frac{|ar^2|}{1-|r|^3}$$
이제 이 식들을 조건식에 대입합니다.
$$3 \times \frac{|ar|}{1-|r|^2} = 7 \times \frac{|ar^2|}{1-|r|^3}$$
양변을 $|ar|$ ($a \neq 0, r \neq 0$이므로 $|ar| \neq 0$)로 나누어 식을 간단히 만듭니다.
$$\frac{3}{1-|r|^2} = \frac{7|r|}{1-|r|^3}$$
인수분해 공식을 이용하여 분모를 약분해 봅시다.
$$\frac{3}{(1-|r|)(1+|r|)} = \frac{7|r|}{(1-|r|)(1+|r|+|r|^2)}$$
$|r| < 1$이므로 $1-|r| \neq 0$입니다. 양변에 $1-|r|$을 곱해 지워줍니다.
$$\frac{3}{1+|r|} = \frac{7|r|}{1+|r|+|r|^2}$$
대각선으로 곱하여 정리합니다.
$$3(1+|r|+|r|^2) = 7|r|(1+|r|)$$
$$3 + 3|r| + 3|r|^2 = 7|r| + 7|r|^2$$
$$4|r|^2 + 4|r| - 3 = 0$$
이차방정식을 인수분해합니다.
$$(2|r| - 1)(2|r| + 3) = 0$$
$|r| > 0$이어야 하므로, 만족하는 값은 다음과 같습니다.
$$|r| = \frac{1}{2}$$
따라서 $r = \frac{1}{2}$ 또는 $r = -\frac{1}{2}$입니다.
3단계: 공비 $r$과 $s$의 값 확정하기
1단계에서 구한 식 $2rs = r+s$에 $r$의 후보들을 대입해 봅시다.
- **Case 1) $r = \frac{1}{2}$ 일 때**
$$2\left(\frac{1}{2}\right)s = \frac{1}{2} + s \implies s = \frac{1}{2} + s \implies 0 = \frac{1}{2} \quad (\text{모순})$$
따라서 $r = \frac{1}{2}$은 될 수 없습니다.
- **Case 2) $r = -\frac{1}{2}$ 일 때**
$$2\left(-\frac{1}{2}\right)s = -\frac{1}{2} + s \implies -s = -\frac{1}{2} + s \implies 2s = \frac{1}{2} \implies s = \frac{1}{4}$$
$|s| = \frac{1}{4} < 1$이므로 수렴 조건을 만족합니다.
따라서 구하고자 하는 두 수열의 공비는 **$r = -\frac{1}{2}$, $s = \frac{1}{4}$**입니다.
4단계: $S$의 값 계산하기
이제 구하고자 하는 식 $S$를 정리해 봅시다.
$$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{2n-1} + b_{3n+1}}{b_n}$$
수열 $\{b_n\}$의 일반항 $b_n = b s^{n-1}$을 대입하여 식을 정리합니다.
$$\frac{b_{2n-1} + b_{3n+1}}{b_n} = \frac{b s^{2n-2} + b s^{3n}}{b s^{n-1}} = \frac{s^{2n-2}}{s^{n-1}} + \frac{s^{3n}}{s^{n-1}} = s^{n-1} + s^{2n+1}$$
따라서 급수 $S$는 두 개의 등비급수의 합으로 쪼갤 수 있습니다.
$$S = \sum_{n=1}^{\infty} s^{n-1} + \sum_{n=1}^{\infty} s^{2n+1}$$
여기에 $s = \frac{1}{4}$을 대입하여 각각의 합을 구합니다.
- 첫 번째 급수: $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$
첫째항은 $1$, 공비는 $\frac{1}{4}$입니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} s^{n-1} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{4}{3}$$
- 두 번째 급수: $\sum_{n=1}^{\infty} s^{2n+1}$
$n=1$일 때 첫째항은 $s^3 = \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64}$이고, 공비는 $s^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$입니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} s^{2n+1} = \frac{\frac{1}{64}}{1-\frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{64}}{\frac{15}{16}} = \frac{1}{64} \times \frac{16}{15} = \frac{1}{60}$$
두 값을 더해 $S$를 구합니다.
$$S = \frac{4}{3} + \frac{1}{60} = \frac{80}{60} + \frac{1}{60} = \frac{81}{60}$$
최종적으로 구하는 값은 $120S$입니다.
$$120S = 120 \times \frac{81}{60} = 2 \times 81 = 162$$
답
$$162$$
확인해보기
3단계 풀이 과정에서 $r = \frac{1}{2}$일 때는 왜 공비 $s$의 값을 정할 수 없었는지, 식 $2rs = r+s$를 $s$에 대해 정리하여 그 이유를 스스로 설명해 보세요.