어떤 문제인가
이 문제는 정적분으로 정의된 함수가 극대 또는 극소가 되는 조건을 찾고, 이를 위해 원래 함수의 도함수의 성질을 분석하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 정적분으로 정의된 함수의 미분: $h(x) = \int_{0}^{x} \{ f(t) - g(t) \} dt$를 미분하여 $h'(x)$를 구하고, 극대·극소가 될 조건을 찾습니다.
- 곡선과 접선의 관계 (변곡점): 함수 $f(x)$와 그 접선 $g(x)$의 차이인 $f(x) - g(x)$가 $x=a$ 좌우에서 부호가 바뀌는 기하학적 상황을 이해합니다.
- 도함수의 극대·극소: $f(x) - g(x)$의 부호 변화가 생기기 위해 도함수 $f'(x)$가 어떤 조건을 만족해야 하는지 파악합니다.
단계별 풀이
1단계: $h(x)$가 $x=a$에서 극값을 가질 조건 분석하기
함수 $h(x)$가 $x=a$에서 극대 또는 극소가 되려면, $h'(x)$의 부호가 $x=a$의 좌우에서 변해야 합니다.
먼저 $h(x)$를 미분해 봅시다.
$$h'(x) = f(x) - g(x)$$
여기서 $y=g(x)$는 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$g(x) = f'(a)(x-a) + f(a)$$
$x=a$를 대입하면 $g(a) = f(a)$이므로, $h'(a) = f(a) - g(a) = 0$이 성립합니다.
이제 $h'(x) = f(x) - g(x)$가 $x=a$ 좌우에서 부호가 바뀌어야 합니다. 즉, 곡선 $y=f(x)$와 접선 $y=g(x)$가 $x=a$에서 서로 교차하며 대소 관계가 바뀌어야 합니다.
이것이 가능하려면 **$x=a$가 곡선 $y=f(x)$의 변곡점**이어야 합니다. 즉, $f'(x)$가 $x=a$에서 증가 상태에서 감소 상태로 바뀌거나, 감소 상태에서 증가 상태로 바뀌어야 합니다. 다시 말해, **$f'(x)$가 $x=a$에서 극대 또는 극소**가 되어야 합니다.
- 이유: 만약 $f'(x)$가 $x=a$에서 극값을 가지면(예: 극소), $f'(x) - f'(a) \ge 0$이 되어 $f(x) - g(x)$는 $x=a$ 근처에서 계속 증가하는 상태가 됩니다. $f(a) - g(a) = 0$이므로, $x < a$일 때는 $f(x) - g(x) < 0$이고 $x > a$일 때는 $f(x) - g(x) > 0$이 되어 부호 변화가 일어납니다!
따라서 구하고자 하는 양수 $a$는 **도함수 $f'(x)$가 극대 또는 극소가 되도록 하는 $x$값들**입니다.
2단계: $f'(x) = |\sin x| \cos x$의 극값 구하기
$f'(x)$의 극값을 찾기 위해, 주기가 $2\pi$인 이 함수의 그래프를 구간별로 나누어 분석해 봅시다.
(1) $x \in (0, \pi)$ 일 때 ($\sin x > 0$)
$$f'(x) = \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$$
이 식을 미분하면,
$$(f'(x))' = \cos 2x$$
- $\cos 2x = 0$이 되는 곳은 $2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$이므로, $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$입니다.
- $x = \frac{\pi}{4}$에서 $f'(x)$는 극대입니다.
- $x = \frac{3\pi}{4}$에서 $f'(x)$는 극소입니다.
(2) $x \in (\pi, 2\pi)$ 일 때 ($\sin x < 0$)
$$f'(x) = -\sin x \cos x = -\frac{1}{2} \sin 2x$$
이 식을 미분하면,
$$(f'(x))' = -\cos 2x$$
- $-\cos 2x = 0$이 되는 곳은 $x = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$입니다.
- $x = \frac{5\pi}{4}$에서 $f'(x)$는 극소입니다.
- $x = \frac{7\pi}{4}$에서 $f'(x)$는 극대입니다.
(3) 경계점 $x = 0, \pi, 2\pi$ 일 때
- **$x = \pi$ 주변**:
$x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$에서 $\cos x < 0$이므로, $f'(x) = |\sin x| \cos x \le 0$입니다.
$f'(\pi) = 0$이고 그 주변에서는 항상 $0$ 이하의 값을 가지므로, $x = \pi$에서 $f'(x)$는 극대가 됩니다.
- **$x = 2\pi$ 주변** (또는 $x=0$ 주변):
$x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$에서 $\cos x > 0$이므로, $f'(x) = |\sin x| \cos x \ge 0$입니다.
$f'(2\pi) = 0$이고 그 주변에서는 항상 $0$ 이상의 값을 가지므로, $x = 2\pi$에서 $f'(x)$는 극소가 됩니다.
3단계: 양수 $a$를 크기순으로 나열하기
위에서 구한 극대·극소가 되는 양수 $a$들을 크기순으로 나열해 봅시다.
- $a_1 = \frac{\pi}{4}$
- $a_2 = \frac{3\pi}{4}$
- $a_3 = \pi$
- $a_4 = \frac{5\pi}{4}$
- $a_5 = \frac{7\pi}{4}$
- $a_6 = 2\pi$
우리가 필요한 값은 $a_2$와 $a_6$입니다.
$$a_2 = \frac{3}{4}\pi$$
$$a_6 = 2\pi$$
4단계: 최종 값 계산하기
$a_6 - a_2$를 계산합니다.
$$a_6 - a_2 = 2\pi - \frac{3}{4}\pi = \frac{5}{4}\pi$$
문제에서 요구하는 값을 구합니다.
$$\frac{100}{\pi} \times (a_6 - a_2) = \frac{100}{\pi} \times \frac{5}{4}\pi = 125$$
답
$$125$$
확인해보기
질문: 만약 어떤 함수 $y=f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 $x=a$에서 극값을 갖지 않고 단순히 증가하는 상태(예: $f'(x) = x^3$에서 $x=0$일 때처럼)라면, 곡선 $y=f(x)$와 접선 $y=g(x)$의 대소 관계는 $x=a$ 좌우에서 어떻게 될까요? 이 경우에도 $h(x)$가 $x=a$에서 극값을 가질 수 있을지 생각해 보세요.