어떤 문제인가
이 문제는 거듭제곱근과 분수 형태의 지수가 섞여 있는 식을 간단히 정리하여 값을 구하는 문제입니다. 이 문제를 풀기 위해 머릿속에 정리해 두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 거듭제곱근과 지수의 관계: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ (단, $a > 0$)
- 지수법칙 (곱셈): 밑이 같은 거듭제곱의 곱은 지수끼리의 합과 같습니다. 즉, $a^m \times a^n = a^{m+n}$
- 소인수분해: 큰 숫자는 소수들의 곱으로 쪼개어 지수법칙을 적용하기 쉽게 만듭니다.
단계별 풀이
1단계: 거듭제곱근을 분수 지수로 바꾸기
계산을 편리하게 하기 위해 식 앞부분에 있는 거듭제곱근 기호($\sqrt{}$)를 분수 지수 형태로 바꾸어 줍니다.
$$\sqrt[3]{24} = 24^{\frac{1}{3}}$$
따라서 우리가 풀어야 할 식은 다음과 같이 바뀝니다.
$$24^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{2}{3}}$$
2단계: 밑을 소인수분해하여 정리하기
지수법칙을 쓰려면 밑(base)을 통일하거나 최대한 단순하게 만들어야 합니다. $24$를 소인수분해해 봅시다.
$$24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3$$
이것을 식에 대입하여 지수법칙 $(ab)^n = a^n b^n$을 적용해 봅니다.
$$24^{\frac{1}{3}} = (2^3 \times 3)^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{3}}$$
여기서 $(2^3)^{\frac{1}{3}}$은 지수법칙 $(a^m)^n = a^{mn}$에 의해 $2^{3 \times \frac{1}{3}} = 2^1 = 2$가 됩니다. 정리하면 다음과 같습니다.
$$24^{\frac{1}{3}} = 2 \times 3^{\frac{1}{3}}$$
3단계: 전체 식 계산하기
이제 구한 값을 원래 식에 대입하여 최종 계산을 해 봅시다.
$$\sqrt[3]{24} \times 3^{\frac{2}{3}} = (2 \times 3^{\frac{1}{3}}) \times 3^{\frac{2}{3}}$$
곱셈의 결합법칙을 이용해 밑이 $3$인 항끼리 묶어서 먼저 계산합니다. 이때 지수법칙 $a^m \times a^n = a^{m+n}$을 사용합니다.
$$= 2 \times \left( 3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{2}{3}} \right)$$
$$= 2 \times 3^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}$$
$$= 2 \times 3^{\frac{3}{3}}$$
$$= 2 \times 3^1$$
$$= 6$$
답
**① $6$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> 질문: $\sqrt[4]{32} \times 2^{\frac{3}{4}}$의 값은 무엇일까요? (힌트: $32 = 2^5$로 소인수분해해 보세요!)