어떤 문제인가
이 문제는 수직선 위를 움직이는 두 점의 속도가 주어졌을 때, 두 점 사이의 거리의 변화를 분석하여 특정 시간 범위를 구하고, 그 시간 동안 한 점이 실제로 움직인 거리를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요:
- 속도와 위치의 관계: 속도를 적분하면 위치(또는 위치의 변화량)를 얻을 수 있습니다.
- 두 점 사이의 거리: 두 점의 위치의 차에 절댓값을 씌운 값입니다. ($f(t) = |x_1(t) - x_2(t)|$)
- 움직인 거리: 속도의 절댓값(즉, 속력)을 정적분하여 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 두 점 $\text{P}$와 $\text{Q}$의 위치 함수 구하기
두 점은 시각 $t=0$일 때 동시에 원점($0$)을 출발했습니다. 따라서 적분상수는 $0$이 됩니다. 속도 함수를 적분하여 각각의 위치 함수 $x_1(t)$와 $x_2(t)$를 구해봅시다.
- 점 $\text{P}$의 위치 $x_1(t)$:
$$x_1(t) = \int_0^t (s^2 - 6s + 5) \, ds = \left[ \frac{1}{3}s^3 - 3s^2 + 5s \right]_0^t = \frac{1}{3}t^3 - 3t^2 + 5t$$
- 점 $\text{Q}$의 위치 $x_2(t)$:
$$x_2(t) = \int_0^t (2s - 7) \, ds = \left[ s^2 - 7s \right]_0^t = t^2 - 7t$$
2단계: 두 점 사이의 거리 $f(t)$ 분석하기
두 점 사이의 거리 $f(t)$는 두 위치의 차에 절댓값을 씌운 것입니다.
$$f(t) = |x_1(t) - x_2(t)|$$
절댓값 안의 식을 $g(t)$라고 해볼게요.
$$g(t) = x_1(t) - x_2(t) = \left(\frac{1}{3}t^3 - 3t^2 + 5t\right) - (t^2 - 7t) = \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 12t$$
이 함수 $g(t)$가 $t \ge 0$에서 어떤 값을 갖는지 알아보기 위해 미분을 해봅시다.
$$g'(t) = t^2 - 8t + 12 = (t-2)(t-6)$$
- $t=2$와 $t=6$에서 극값을 가집니다.
- $g(0) = 0$
- $g(2) = \frac{8}{3} - 16 + 24 = \frac{32}{3} > 0$
- $g(6) = \frac{216}{3} - 4(36) + 12(6) = 72 - 144 + 72 = 0$
$t \ge 0$ 영역에서 $g(t)$의 그래프를 그려보면, $t=0$에서 출발해 증가하다가 $t=2$에서 극대값 $\frac{32}{3}$를 찍고, 감소하여 $t=6$에서 딱 $0$이 된 후 다시 증가합니다. 즉, $t \ge 0$인 모든 실수에 대해 $g(t) \ge 0$입니다!
따라서 절댓값을 그냥 벗길 수 있습니다.
$$f(t) = |g(t)| = g(t) = \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 12t$$
3단계: 구간을 결정하는 $a$와 $b$ 구하기
함수 $f(t)$의 증가와 감소는 도함수 $f'(t) = g'(t) = (t-2)(t-6)$의 부호로 결정됩니다.
- $0 \le t \le 2$ 일 때: $f'(t) \ge 0$ 이므로 증가
- $2 \le t \le 6$ 일 때: $f'(t) \le 0$ 이므로 감소
- $t \ge 6$ 일 때: $f'(t) \ge 0$ 이므로 증가
문제에서 "구간 $[0, a]$에서 증가하고, 구간 $[a, b]$에서 감소하고, 구간 $[b, \infty)$에서 증가한다"라고 했으므로, 비교해보면 다음과 같습니다.
$$a = 2, \quad b = 6$$
4단계: 점 $\text{Q}$가 움직인 거리 구하기
우리가 구해야 하는 것은 시각 $t=2$에서 $t=6$까지 점 $\text{Q}$가 움직인 거리입니다.
움직인 거리는 속도 $v_2(t) = 2t - 7$의 절댓값을 적분해야 합니다.
$$\text{움직인 거리} = \int_2^6 |2t - 7| \, dt$$
속도 $v_2(t) = 2t - 7$은 $t = \frac{7}{2} = 3.5$를 기준으로 부호가 바뀝니다. 따라서 적분 구간을 나누어 계산합니다.
$$\int_2^6 |2t - 7| \, dt = \int_2^{3.5} -(2t - 7) \, dt + \int_{3.5}^6 (2t - 7) \, dt$$
각각 계산해 볼까요?
- $t=2$부터 $t=3.5$까지:
$$\int_2^{3.5} (7 - 2t) \, dt = \left[ 7t - t^2 \right]_2^{3.5} = (24.5 - 12.25) - (14 - 4) = 12.25 - 10 = 2.25 = \frac{9}{4}$$
- $t=3.5$부터 $t=6$까지:
$$\int_{3.5}^6 (2t - 7) \, dt = \left[ t^2 - 7t \right]_{3.5}^6 = (36 - 42) - (12.25 - 24.5) = -6 - (-12.25) = 6.25 = \frac{25}{4}$$
두 값을 더하면 최종 움직인 거리가 나옵니다.
$$\text{움직인 거리} = \frac{9}{4} + \frac{25}{4} = \frac{34}{4} = \frac{17}{2}$$
*(참고: $y = |2t-7|$의 그래프는 직선이므로, $t=2$부터 $t=6$까지 가로축과 이루는 두 직각삼각형의 넓이의 합으로 구해도 $\frac{1}{2} \times 1.5 \times 3 + \frac{1}{2} \times 2.5 \times 5 = \frac{9}{4} + \frac{25}{4} = \frac{17}{2}$로 쉽게 구할 수 있습니다!)*
답
정답은 ② $\frac{17}{2}$ 입니다.
확인해보기
시각 $t=2$에서 $t=6$까지 점 $\text{Q}$의 위치의 변화량(변위)과 우리가 구한 움직인 거리는 서로 다릅니다. 이 두 개념의 차이점은 무엇이며, 이 문제에서 점 $\text{Q}$의 '위치의 변화량'은 얼마인지 직접 계산해 보세요.