어떤 문제인가
이 문제는 등차수열의 성질과 부분분수 분해를 결합한 아주 좋은 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 등차수열의 일반항과 합: 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열의 일반항은 $a_n = a + (n-1)d$입니다.
- 절댓값의 성질: $|x| = y$ 일 때, $y \ge 0$ 이어야 하며, $x = y$ 또는 $x = -y$가 성립합니다.
- 부분분수 분해: 분모가 두 식의 곱으로 되어 있을 때, $\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B}\right)$ 공식을 사용하여 식을 간단히 만들 수 있습니다.
이 개념들을 하나씩 적용해 가며 문제를 풀어봅시다!
단계별 풀이
1단계: 절댓값 조건 $|a_6| = a_8$ 분석하기
먼저 첫 번째 조건인 $|a_6| = a_8$을 분석해 봅시다.
절댓값의 결과는 항상 $0$ 이상이므로, 우변에 있는 $a_8$은 반드시 $0$ 이상이어야 합니다. ($a_8 \ge 0$)
이제 절댓값 기호를 벗기기 위해 두 가지 경우로 나누어 생각합니다.
- **경우 1) $a_6 \ge 0$ 일 때**
$a_6 = a_8$ 이 됩니다. 등차수열의 일반항으로 표현하면,
$$a + 5d = a + 7d \implies 2d = 0 \implies d = 0$$
하지만 문제 조건에서 **"공차가 $0$이 아닌"**이라고 했으므로, 이 경우는 불가능합니다.
- **경우 2) $a_6 < 0$ 일 때**
$-a_6 = a_8$ 이 됩니다. 식을 정리해 볼까요?
$$-(a + 5d) = a + 7d$$
$$-a - 5d = a + 7d$$
$$2a + 12d = 0 \implies a = -6d$$
여기서 $a_8 \ge 0$ 이고 $d \neq 0$ 이므로, $a_8 = a + 7d = -6d + 7d = d \ge 0$ 에서 **$d > 0$** 임을 알 수 있습니다.
따라서 첫째항 $a = -6d$ 이고 공차 $d$는 양수입니다.
2단계: 부분분수를 이용하여 수열의 합 단순화하기
두 번째 조건인 $\sum_{k=1}^{5} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{5}{96}$를 살펴봅시다.
분모가 이웃한 두 항의 곱으로 되어 있으므로, 부분분수 공식 $\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B}\right)$를 적용합니다.
여기서 $A = a_k$, $B = a_{k+1}$로 두면, 등차수열의 정의에 의해 $B - A = a_{k+1} - a_k = d$ (공차)가 됩니다.
따라서 일반항은 다음과 같이 변형됩니다.
$$\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right)$$
이제 $k=1$부터 $5$까지 대입하여 더해봅시다.
$$\sum_{k=1}^{5} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \left[ \left(\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2}\right) + \left(\frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{a_5} - \frac{1}{a_6}\right) \right]$$
이웃한 항들이 서로 지워지는 아름다운 규칙이 보이나요? 남는 것은 처음과 끝뿐입니다.
$$\sum_{k=1}^{5} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_6} \right)$$
3단계: 첫째항($a$)과 공차($d$) 구하기
1단계에서 구한 $a = -6d$ 관계식을 이용해 $a_1$과 $a_6$을 $d$로 표현해 봅시다.
- $a_1 = a = -6d$
- $a_6 = a + 5d = -6d + 5d = -d$
이 값들을 2단계에서 정리한 식에 대입합니다.
$$\frac{1}{d} \left( \frac{1}{-6d} - \frac{1}{-d} \right) = \frac{1}{d} \left( -\frac{1}{6d} + \frac{1}{d} \right)$$
괄호 안을 통분하여 계산하면,
$$\frac{1}{d} \left( \frac{-1 + 6}{6d} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{5}{6d} \right) = \frac{5}{6d^2}$$
이 값이 $\frac{5}{96}$와 같아야 하므로,
$$\frac{5}{6d^2} = \frac{5}{96} \implies 6d^2 = 96 \implies d^2 = 16$$
우리는 1단계에서 $d > 0$임을 확인했으므로, **$d = 4$**가 됩니다.
자동으로 첫째항은 **$a = -6d = -24$**가 됩니다.
4단계: 등차수열의 15번째 항까지의 합 구하기
이제 마지막으로 구하고자 하는 값인 $\sum_{k=1}^{15} a_k$를 구해봅시다. 이는 첫째항부터 15번째 항까지의 합($S_{15}$)입니다.
등차수열의 합 공식 $S_n = \frac{n\{2a + (n-1)d\}}{2}$에 $n=15$, $a=-24$, $d=4$를 대입합니다.
$$S_{15} = \frac{15 \times \{2(-24) + 14(4)\}}{2}$$
$$S_{15} = \frac{15 \times \{-48 + 56\}}{2}$$
$$S_{15} = \frac{15 \times 8}{2} = 15 \times 4 = 60$$
답
정답은 **① $60$** 입니다.
확인해보기
이 문제를 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 부분분수 분해 공식 $\frac{1}{A B} = \frac{1}{B - A} \left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B}\right)$를 수열에 적용할 때, 분모의 차이인 $B-A$ 자리에 공차 $d$를 바로 쓸 수 있었던 이유는 등차수열의 어떤 정의 때문일까요?