어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼차함수 $f(x)$와 이를 이용해 정의된 새로운 함수 $g(x)$의 그래프가 $x$축과 이루는 도형의 넓이를 구하고, 그 넓이가 최대가 되도록 하는 조건을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다:
- 함수의 그래프와 도형의 넓이: 곡선과 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 정적분과 기하학적 도형(삼각형)의 넓이 공식으로 나누어 표현하기
- 정적분으로 정의된 함수의 미분: 넓이를 나타낸 함수 $S(t)$를 미분하여 극대·극소를 찾는 도구로 활용하기
- 도함수를 통한 최댓값 구하기: 미분계수가 $0$이 되는 지점을 찾아 넓이가 최대가 되는 $t$의 값 구하기
단계별 풀이
1단계: 함수 $g(x)$의 그래프 이해하고 넓이 식 $S(t)$ 세우기
먼저 삼차함수 $f(x) = \frac{1}{9}x(x-6)(x-9)$의 특징을 살펴봅시다. 이 함수의 그래프는 $x$축과 $x=0, 6, 9$에서 만납니다. 문제에서 $t$의 범위가 $0 < t < 6$이므로, 이 구간에서 $f(t) > 0$입니다.
이제 함수 $g(x)$를 정의에 따라 나누어 생각해 봅시다.
- $x < t$ 일 때: $g(x) = f(x)$ (곡선)
- $x \ge t$ 일 때: $g(x) = -(x-t) + f(t)$ (기울기가 $-1$이고 점 $(t, f(t))$를 지나는 직선)
이 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S(t)$라고 하면, 이 영역은 두 부분으로 나뉩니다.
- **곡선 부분 ($0$부터 $t$까지)**: $y = f(x)$ 아래의 넓이이므로 정적분 $\int_0^t f(x) \, dx$로 구합니다.
- **직선 부분 ($t$ 이후)**: 기울기가 $-1$인 직선이 $x$축과 만나는 점은 $g(x) = 0$이 되는 $x = t + f(t)$입니다. 따라서 이 부분은 밑변의 길이가 $f(t)$, 높이가 $f(t)$인 직각이등변삼각형이 됩니다. 이 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2} \{f(t)\}^2$입니다.
따라서 구하고자 하는 넓이 $S(t)$는 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
$$S(t) = \int_0^t f(x) \, dx + \frac{1}{2} \{f(t)\}^2$$
2단계: 넓이 함수 $S(t)$ 미분하기
넓이 $S(t)$가 극대가 될 때 최댓값을 가질 것이므로, $S(t)$를 $t$에 대해 미분해 봅시다. 정적분으로 정의된 함수의 미분 공식과 합성함수의 미분법(미적분 개념)을 사용합니다.
$$S'(t) = \frac{d}{dt} \left( \int_0^t f(x) \, dx \right) + \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} \{f(t)\}^2 \right)$$
각각을 미분하면 다음과 같습니다.
- 앞부분: $\frac{d}{dt} \left( \int_0^t f(x) \, dx \right) = f(t)$
- 뒷부분: $\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} \{f(t)\}^2 \right) = \frac{1}{2} \cdot 2f(t) \cdot f'(t) = f(t)f'(t)$
이를 합치면,
$$S'(t) = f(t) + f(t)f'(t) = f(t)\{1 + f'(t)\}$$
3단계: 넓이가 최대가 되는 $t$의 값 구하기
넓이가 극대가 되려면 $S'(t) = 0$이어야 합니다.
$$f(t)\{1 + f'(t)\} = 0$$
그런데 $0 < t < 6$ 범위에서 $f(t) > 0$이므로, $f(t) \neq 0$입니다.
따라서 우리는 다음 식을 만족하는 $t$를 찾아야 합니다.
$$1 + f'(t) = 0 \implies f'(t) = -1$$
이제 $f(x)$를 미분하여 $f'(t)$를 구해봅시다.
$$f(x) = \frac{1}{9}(x^3 - 15x^2 + 54x)$$
$$f'(x) = \frac{1}{9}(3x^2 - 30x + 54) = \frac{1}{3}(x^2 - 10x + 18)$$
$f'(t) = -1$ 대입하면,
$$\frac{1}{3}(t^2 - 10t + 18) = -1$$
$$t^2 - 10t + 18 = -3$$
$$t^2 - 10t + 21 = 0$$
$$(t-3)(t-7) = 0$$
주어진 범위가 $0 < t < 6$이므로, 조건을 만족하는 값은 **$t = 3$** 뿐입니다.
($t=3$ 좌우에서 $S'(t)$의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 변하므로 $t=3$에서 $S(t)$는 극대이자 최댓값을 가집니다.)
4단계: 최댓값 $S(3)$ 계산하기
이제 $t=3$일 때의 넓이 $S(3)$을 직접 계산해 봅시다.
$$S(3) = \int_0^3 f(x) \, dx + \frac{1}{2} \{f(3)\}^2$$
**① $f(3)$ 구하기**
$$f(3) = \frac{1}{9} \cdot 3 \cdot (3-6) \cdot (3-9) = \frac{1}{9} \cdot 3 \cdot (-3) \cdot (-6) = 6$$
따라서 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2} \cdot 6^2 = 18$입니다.
**② 정적분 $\int_0^3 f(x) \, dx$ 구하기**
$$\int_0^3 f(x) \, dx = \frac{1}{9} \int_0^3 (x^3 - 15x^2 + 54x) \, dx$$
$$= \frac{1}{9} \left[ \frac{1}{4}x^4 - 5x^3 + 27x^2 \right]_0^3$$
$$= \frac{1}{9} \left( \frac{81}{4} - 5(27) + 27(9) \right)$$
$$= \frac{1}{9} \left( \frac{81}{4} - 135 + 243 \right)$$
$$= \frac{1}{9} \left( \frac{81}{4} + 108 \right)$$
$$= \frac{9}{4} + 12 = \frac{57}{4}$$
**③ 총 넓이 $S(3)$ 계산**
$$S(3) = \frac{57}{4} + 18 = \frac{57 + 72}{4} = \frac{129}{4}$$
답
정답은 **③ $\frac{129}{4}$** 입니다.
확인해보기
만약 $x \ge t$ 영역에서 직선의 방정식이 기울기가 $-1$이 아니라, 기울기가 $-2$인 직선 $y = -2(x-t) + f(t)$로 바뀌었다고 가정해 봅시다. 이 경우, $x \ge t$ 영역에 생기는 직각삼각형의 넓이를 구하는 식은 어떻게 변할지 스스로 생각해 보세요.