어떤 문제인가
이 문제는 사각형 $\text{ABCD}$에서 주어진 선분의 길이와 각도, 그리고 두 삼각형의 넓이 관계를 이용하여 특정 값 $\frac{R}{\sin(\angle\text{ADC})}$을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 코사인법칙: 삼각형에서 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있습니다.
- 삼각형의 넓이 공식: 두 변의 길이와 그 끼인각의 사인($\sin$) 값을 이용해 넓이를 구합니다. ($S = \frac{1}{2}ab\sin\theta$)
- 사인법칙: 삼각형의 외접원의 반지름 $R$과 변의 길이, 마주 보는 각의 사인 값 사이의 관계를 보여줍니다. ($\frac{a}{\sin A} = 2R$)
단계별 풀이
1단계: 코사인법칙으로 선분 $\text{AC}$의 길이 구하기
먼저, 삼각형 $\text{ABC}$에서 알고 있는 정보들을 모아봅시다.
- $\overline{\text{AB}} = 3$
- $\overline{\text{BC}} = \sqrt{13}$
- $\angle\text{BAC} = \frac{\pi}{3}$
우리가 구하고자 하는 선분 $\text{AC}$의 길이를 $x$라고 두겠습니다. 삼각형 $\text{ABC}$에서 각 $\angle\text{BAC}$에 대해 코사인법칙을 적용하면 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{BC}}^2 = \overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{AC}}^2 - 2 \cdot \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AC}} \cdot \cos(\angle\text{BAC})$$
여기에 알고 있는 값들을 대입해 볼까요?
$$(\sqrt{13})^2 = 3^2 + x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\text{이므로,}$$
$$13 = 9 + x^2 - 6x \cdot \frac{1}{2}$$
$$13 = 9 + x^2 - 3x$$
$$x^2 - 3x - 4 = 0$$
이 이차방정식을 인수분해하면 다음과 같습니다.
$$(x-4)(x+1) = 0$$
길이는 항상 양수여야 하므로, $x = 4$입니다.
따라서, **$\overline{\text{AC}} = 4$** 임을 알 수 있습니다.
2단계: 삼각형 $\text{ABC}$의 넓이 $S_1$ 구하기
이제 두 변의 길이($\overline{\text{AB}}=3$, $\overline{\text{AC}}=4$)와 그 끼인각($\angle\text{BAC} = \frac{\pi}{3}$)을 알았으니, 삼각형 $\text{ABC}$의 넓이 $S_1$을 구할 수 있습니다.
$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AC}} \cdot \sin(\angle\text{BAC})$$
$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$$
$$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\text{이므로,}$$
$$S_1 = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$
3단계: 삼각형 $\text{ACD}$의 넓이 $S_2$를 이용하여 $\sin(\angle\text{ADC})$ 구하기
문제에서 $S_2 = \frac{5}{6} S_1$이라고 주어졌습니다. 이를 이용해 $S_2$의 값을 구합니다.
$$S_2 = \frac{5}{6} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$$
한편, 삼각형 $\text{ACD}$의 넓이 $S_2$는 두 변 $\overline{\text{AD}}$, $\overline{\text{CD}}$와 그 끼인각 $\angle\text{ADC}$를 이용해서도 나타낼 수 있습니다. 편의상 $\angle\text{ADC} = \theta$라고 두겠습니다.
$$S_2 = \frac{1}{2} \cdot \overline{\text{AD}} \cdot \overline{\text{CD}} \cdot \sin\theta$$
문제에서 $\overline{\text{AD}} \times \overline{\text{CD}} = 9$라고 주어졌으므로, 이 값을 대입합니다.
$$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \sin\theta = \frac{9}{2}\sin\theta$$
위에서 구한 $S_2$의 값과 같아야 하므로 식을 세워봅니다.
$$\frac{9}{2}\sin\theta = \frac{5\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin\theta = \frac{5\sqrt{3}}{9}$$
따라서, **$\sin(\angle\text{ADC}) = \frac{5\sqrt{3}}{9}$** 입니다.
4단계: 사인법칙을 이용하여 최종 값 구하기
우리가 구해야 하는 값은 $\frac{R}{\sin(\angle\text{ADC})} = \frac{R}{\sin\theta}$ 입니다.
삼각형 $\text{ACD}$에서 사인법칙을 적용하면, 외접원의 반지름 $R$과 마주 보는 변 $\overline{\text{AC}}$, 그리고 각 $\theta$ 사이에는 다음과 같은 관계가 성립합니다.
$$\frac{\overline{\text{AC}}}{\sin\theta} = 2R$$
이 식을 $R$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$R = \frac{\overline{\text{AC}}}{2\sin\theta}$$
우리가 구하고자 하는 식 $\frac{R}{\sin\theta}$에 이 $R$을 대입해 볼까요?
$$\frac{R}{\sin\theta} = \frac{\frac{\overline{\text{AC}}}{2\sin\theta}}{\sin\theta} = \frac{\overline{\text{AC}}}{2\sin^2\theta}$$
이제 우리가 구한 값들($\overline{\text{AC}} = 4$, $\sin\theta = \frac{5\sqrt{3}}{9}$)을 대입하여 계산을 마무리합니다.
$$\frac{R}{\sin\theta} = \frac{4}{2 \cdot \left(\frac{5\sqrt{3}}{9}\right)^2}$$
$$\frac{R}{\sin\theta} = \frac{2}{\frac{25 \cdot 3}{81}} = \frac{2}{\frac{25}{27}}$$
$$\frac{R}{\sin\theta} = 2 \cdot \frac{27}{25} = \frac{54}{25}$$
답
정답은 **① $\frac{54}{25}$** 입니다.
확인해보기
삼각형의 외접원의 반지름 $R$을 구하는 공식인 사인법칙 $\frac{a}{\sin A} = 2R$에서, 만약 각 $A$의 크기가 일정할 때 마주 보는 대변 $a$의 길이가 2배가 된다면 외접원의 반지름 $R$은 어떻게 변할지 생각해 보세요.