어떤 문제인가
이 문제는 주어진 범위에 따라 다르게 정의된 함수 $f(x)$의 그래프와 가로 직선 $y=t$가 만나는 교점의 개수 함수 $g(t)$의 성질을 이해하고, 주어진 극한 조건과 함숫값의 합이 $9$가 되는 상황을 분석하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 삼차함수와 이차함수의 그래프 개형: 미분을 이용해 삼차함수의 극대·극소를 찾고, 이차함수의 꼭짓점 위치를 파악합니다.
- 교점의 개수 함수 $g(t)$의 불연속성: 직선 $y=t$를 위아래로 움직이며 교점의 개수가 변하는 경계(극댓값, 극솟값 등)를 찾습니다.
- 좌극한, 우극한, 함숫값의 합: $g(k) + \lim_{t \to k-} g(t) + \lim_{t \to k+} g(t) = 9$라는 조건이 그래프의 어떤 기하학적 상황을 의미하는지 추론합니다.
단계별 풀이
1단계: $x \le 2$ 영역에서 $f(x)$의 그래프 그리기
먼저 확실하게 식을 알고 있는 $x \le 2$ 영역의 삼차함수를 분석해 봅시다.
$$h(x) = 2x^3 - 6x + 1 \quad (x \le 2)$$
이 함수의 극값을 찾기 위해 미분을 합니다.
$$h'(x) = 6x^2 - 6 = 6(x-1)(x+1)$$
$h'(x) = 0$이 되는 지점은 $x = -1$과 $x = 1$입니다.
- 극댓값: $h(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 1 = 5$
- 극솟값: $h(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 1 = -3$
- 경계에서의 값: $h(2) = 2(2)^3 - 6(2) + 1 = 5$
따라서 $x \le 2$ 영역에서 $f(x)$의 그래프는 다음과 같습니다.
- $x \to -\infty$에서 올라와서 $(-1, 5)$에서 극대를 찍고,
- $(1, -3)$까지 내려가서 극소를 찍은 후,
- 다시 올라가 경계점인 $(2, 5)$에서 멈춥니다. (이때 $f(2) = 5$입니다.)
2단계: $x > 2$ 영역에서 $f(x)$의 그래프 분석하기
$x > 2$ 영역의 함수는 다음과 같습니다.
$$p(x) = a(x-2)(x-b) + 9 \quad (x > 2)$$
여기서 $a, b$는 자연수이므로 $a > 0$입니다. 즉, 아래로 볼록한 이차함수의 일부분입니다.
- $x \to 2^+$일 때, $p(x) \to 9$입니다. 즉, 그래프는 $(2, 9)$라는 빈 동그라미에서 출발합니다.
- 만약 $b \le 2$라면, $x > 2$ 영역에서 이 이차함수는 계속 증가만 하므로 최솟값을 갖지 않습니다. 이 경우 교점의 개수 변화가 단순하여 조건을 만족하는 $k$가 존재하지 않거나 무수히 많아집니다.
- 따라서 $b > 2$여야 합니다. 이 경우 꼭짓점의 $x$좌표는 $x = \frac{2+b}{2} > 2$가 되어, $x > 2$ 영역에서 최솟값(꼭짓점의 $y$좌표)을 갖게 됩니다.
이 최솟값을 $M$이라 합시다.
$$M = p\left(\frac{2+b}{2}\right) = a\left(\frac{b-2}{2}\right)\left(\frac{2-b}{2}\right) + 9 = 9 - \frac{a(b-2)^2}{4}$$
즉, $x > 2$ 영역에서 그래프는 $(2, 9)$에서 내려와 꼭짓점 $(x_0, M)$을 찍고 다시 위로 올라가는 모양이 됩니다.
3단계: 교점의 개수 $g(t)$와 조건 분석하기
우리가 원하는 조건은 다음과 같습니다.
$$S(k) = g(k) + \lim_{t \to k-} g(t) + \lim_{t \to k+} g(t) = 9$$
를 만족하는 실수 $k$의 개수가 오직 1개여야 합니다.
$g(t)$는 $y=t$가 그래프의 극대, 극소, 경계점 등을 지날 때 값이 변합니다.
만약 어떤 구간에서 $g(t)$가 상수값 $c$로 일정하다면, 그 구간 안의 모든 $k$에 대해 $S(k) = c + c + c = 3c$가 됩니다.
- 만약 $c = 3$인 구간이 존재한다면, 그 구간의 모든 $k$에 대해 $S(k) = 9$가 되므로 만족하는 $k$의 개수가 무수히 많아집니다.
- 따라서 $g(t) = 3$이 되는 구간이 아예 없거나, 경계에서만 딱 한 번 $S(k)=9$가 만들어져야 합니다.
먼저 $M>-3$이라면 $-3<t<\min(M,5)$에서 삼차함수 쪽의 교점만 $3$개 있으므로 조건을 만족하는 $k$가 무수히 많습니다. 반대로 $M<-3$이라면 $M<t<-3$에서 삼차함수 쪽의 교점 $1$개와 이차함수 쪽의 교점 $2$개를 합쳐 역시 $3$개입니다.
따라서 두 경우를 모두 제외하면 $M=-3$이어야 합니다. 이제 이 조건이 충분한지도 확인해 봅시다.
왜 그런지 확인해 볼까요? $M = -3$일 때 $g(t)$의 변화를 살펴봅시다.
- $t < -3$: 삼차함수 쪽에서만 교점이 1개 생기므로 $g(t) = 1$
- $t = -3$: 삼차함수의 극소(1개) + 이차함수의 최솟값(1개) + 삼차함수 왼쪽 가지(1개) = 총 3개이므로 $g(-3) = 3$
- $-3 < t < 5$: 삼차함수 쪽에서 3개 + 이차함수 쪽에서 2개 = 총 5개이므로 $g(t) = 5$
- $t = 5$: 삼차함수 극대(-1에서 1개, 2에서 1개) + 이차함수 쪽에서 2개 = 총 4개이므로 $g(5) = 4$
- $5 < t < 9$: 이차함수 쪽에서만 2개 생기므로 $g(t) = 2$
- $t \ge 9$: 이차함수 쪽에서만 1개 생기므로 $g(t) = 1$
이제 각 경계값에서 $S(k)$를 계산해 봅시다.
- $k = -3$ 일 때:
$$g(-3) = 3, \quad \lim_{t \to -3-} g(t) = 1, \quad \lim_{t \to -3+} g(t) = 5$$
$$S(-3) = 3 + 1 + 5 = 9 \quad \text{(조건 만족!)}$$
- $k = 5$ 일 때:
$$g(5) = 4, \quad \lim_{t \to 5-} g(t) = 5, \quad \lim_{t \to 5+} g(t) = 2$$
$$S(5) = 4 + 5 + 2 = 11 \ne 9$$
- $k=9$일 때:
$$S(9)=g(9)+\lim_{t\to9-}g(t)+\lim_{t\to9+}g(t)=1+2+1=4\ne9$$
- 그 외의 모든 $k$:
$S(k)$는 $3$ (즉, $1+1+1$), $15$ (즉, $5+5+5$), $6$ (즉, $2+2+2$) 등의 값을 가지므로 $9$가 될 수 없습니다.
따라서 $M = -3$일 때만 $S(k) = 9$를 만족하는 $k$가 $k = -3$ 단 하나 존재하게 됩니다!
4단계: $a+b$의 최댓값 구하기
$M = -3$ 조건을 식으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$9 - \frac{a(b-2)^2}{4} = -3$$
$$\frac{a(b-2)^2}{4} = 12$$
$$a(b-2)^2 = 48$$
$a$와 $b$는 자연수이고 $b > 2$이므로, $b-2$는 자연수입니다. $n = b-2$ ($n \ge 1$)라 두면,
$$a \cdot n^2 = 48$$
이 식을 만족하는 자연수 $n$의 제곱 $n^2$은 $48$의 약수여야 합니다. 가능한 $n^2$의 값은 $1, 4, 16$입니다.
- $n^2 = 1$ 일 때 ($n = 1$):
* $b - 2 = 1 \implies b = 3$
* $a = 48$
* $a + b = 48 + 3 = 51$
- $n^2 = 4$ 일 때 ($n = 2$):
* $b - 2 = 2 \implies b = 4$
* $a = 12$
* $a + b = 12 + 4 = 16$
- $n^2 = 16$ 일 때 ($n = 4$):
* $b - 2 = 4 \implies b = 6$
* $a = 3$
* $a + b = 3 + 6 = 9$
따라서 $a+b$의 최댓값은 $51$입니다.
답
① $51$
확인해보기
만약 이차함수의 최솟값 $M$이 삼차함수의 극댓값인 $5$와 같아진다면 ($M = 5$), $S(k) = 9$를 만족하는 실수 $k$는 존재할까요? 존재한다면 몇 개일까요? 그래프를 직접 그려보고 생각해 보세요!