어떤 문제인가
이 문제는 주어진 수열의 규칙을 보고, 여섯 번째 항과 일곱 번째 항의 합이 $3$이 되도록 하는 첫째항 $a_1$을 찾는 문제야.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같단다:
- 수열의 거꾸로 추적하기: 결과($a_6, a_7$)를 알고 있을 때, 규칙을 거꾸로 적용하여 원인($a_1$)을 찾아가는 방법이야.
- 조건의 분류와 판정: 거꾸로 갈 때, 이전 항이 '홀수'였는지 '짝수'였는지 조건에 맞는지 반드시 확인해야 해.
단계별 풀이
1단계: $a_6$과 $a_7$의 값 결정하기
첫째항 $a_1$이 자연수이므로, 규칙에 따라 만들어지는 모든 항 $a_n$은 항상 자연수가 될 수밖에 없어. (홀수이면 $2^{\text{홀수}}$이므로 자연수, 짝수이면 반으로 나누므로 자연수)
따라서 두 자연수를 더해서 $3$이 되는 경우는 딱 두 가지뿐이야.
- 경우 A: $a_6 = 1, a_7 = 2$
- 경우 B: $a_6 = 2, a_7 = 1$
실제로 규칙에 맞는지 확인해 볼까?
- $a_6 = 1$ (홀수)이면, $a_7 = 2^1 = 2$가 되므로 경우 A는 성립해.
- $a_6 = 2$ (짝수)이면, $a_7 = \frac{1}{2} \times 2 = 1$이 되므로 경우 B도 성립해.
결국 우리가 출발해야 하는 $a_6$의 후보는 **$1$ 또는 $2$**가 된단다!
2단계: 역추적을 위한 '거꾸로 규칙' 만들기
이제 $a_{n+1}$의 값을 알 때, 이전 항인 $a_n$이 무엇이었을지 구하는 식을 세워보자.
원래 규칙은 다음과 같았어:
$$a_{n+1} = \begin{cases} 2^{a_n} & (a_n\text{이 홀수}) \\ \frac{1}{2}a_n & (a_n\text{이 짝수}) \end{cases}$$
이것을 거꾸로 풀면 $a_n$은 다음 두 가지 후보 중 하나가 돼:
- 짝수였던 경우: $a_n = 2a_{n+1}$ (이 값은 항상 짝수이므로 언제나 가능해!)
- 홀수였던 경우: $a_n = \log_2 a_{n+1}$ (단, 이 값이 홀수인 자연수일 때만 가능해!)
이 두 가지 규칙을 명심하고, $a_6$에서부터 $a_1$까지 수형도를 해보자.
3단계: $a_6$에서 $a_1$까지 거꾸로 추적하기
이제 각 단계별로 가능한 값들을 찾아볼게.
**[단계 1] $a_6$의 값**
$$a_6 \in \{1, 2\}$$
**[단계 2] $a_5$의 값 구하기**
- $a_6 = 1$일 때:
* 짝수 규칙: $2 \times 1 = 2$
* 홀수 규칙: $\log_2 1 = 0$ (자연수가 아니므로 탈락)
- $a_6 = 2$일 때:
* 짝수 규칙: $2 \times 2 = 4$
* 홀수 규칙: $\log_2 2 = 1$ (홀수이므로 가능!)
- 따라서, $a_5 \in \{1, 2, 4\}$
**[단계 3] $a_4$의 값 구하기**
- $a_5 = 1$일 때 $\rightarrow a_4 \in \{2\}$
- $a_5 = 2$일 때 $\rightarrow a_4 \in \{1, 4\}$
- $a_5 = 4$일 때:
* 짝수 규칙: $2 \times 4 = 8$
* 홀수 규칙: $\log_2 4 = 2$ (짝수이므로 탈락!)
- 따라서, $a_4 \in \{1, 2, 4, 8\}$
**[단계 4] $a_3$의 값 구하기**
- $a_4 = 1 \rightarrow a_3 \in \{2\}$
- $a_4 = 2 \rightarrow a_3 \in \{1, 4\}$
- $a_4 = 4 \rightarrow a_3 \in \{8\}$
- $a_4 = 8$일 때:
* 짝수 규칙: $2 \times 8 = 16$
* 홀수 규칙: $\log_2 8 = 3$ (홀수이므로 가능!)
- 따라서, $a_3 \in \{1, 2, 3, 4, 8, 16\}$
**[단계 5] $a_2$의 값 구하기**
- $a_3 = 1 \rightarrow a_2 \in \{2\}$
- $a_3 = 2 \rightarrow a_2 \in \{1, 4\}$
- $a_3 = 3 \rightarrow a_2 \in \{6\}$ ($\log_2 3$은 정수가 아님)
- $a_3 = 4 \rightarrow a_2 \in \{8\}$
- $a_3 = 8 \rightarrow a_2 \in \{3, 16\}$
- $a_3 = 16$일 때:
* 짝수 규칙: $2 \times 16 = 32$
* 홀수 규칙: $\log_2 16 = 4$ (짝수이므로 탈락!)
- 따라서, $a_2 \in \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 16, 32\}$
**[단계 6] 마지막! $a_1$의 값 구하기**
이제 $a_2$의 값들로부터 최종 $a_1$을 구해보자.
- $a_2 = 1 \rightarrow a_1 \in \{2\}$
- $a_2 = 2 \rightarrow a_1 \in \{1, 4\}$
- $a_2 = 3 \rightarrow a_1 \in \{6\}$
- $a_2 = 4 \rightarrow a_1 \in \{8\}$
- $a_2 = 6 \rightarrow a_1 \in \{12\}$
- $a_2 = 8 \rightarrow a_1 \in \{3, 16\}$
- $a_2 = 16 \rightarrow a_1 \in \{32\}$
- $a_2 = 32$일 때:
* 짝수 규칙: $2 \times 32 = 64$
* 홀수 규칙: $\log_2 32 = 5$ (홀수이므로 가능!) $\rightarrow a_1 \in \{5, 64\}$
중복 없이 가능한 모든 $a_1$의 값을 모아보면 다음과 같아:
$$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 16, 32, 64\}$$
4단계: 모든 $a_1$의 합 구하기
이제 구한 값들을 모두 더해볼까?
$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 12 + 16 + 32 + 64$$
계산을 편하게 하기 위해 묶어서 더해보자.
- $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$
- $8 + 12 = 20$
- $16 + 32 + 64 = 112$
모두 더하면:
$$21 + 20 + 112 = 153$$
답
따라서 구하고자 하는 모든 $a_1$의 값의 합은 153이므로, 정답은 ③번이란다!
확인해보기
오늘 배운 역추적 방법을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼 수 있는 질문이야.
> 질문: 만약 문제의 조건이 $a_6 + a_7 = 3$이 아니라, 한 단계 줄어든 **$a_5 + a_6 = 3$**이었다면 가능한 모든 $a_1$의 값의 합은 얼마가 될까요? (위 풀이의 단계를 잘 살펴보면 아주 쉽게 구할 수 있어요!)