어떤 문제인가
이 문제는 주어진 지수방정식을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하는 문제입니다. 지수방정식을 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 밑 통일하기: 지수방정식을 풀 때 가장 기본이 되는 단계는 양변의 '밑'을 같게 만들어 주는 것입니다. 이 문제에서는 $3$과 $\frac{1}{27}$을 모두 $3$을 밑으로 하는 거듭제곱 형태로 바꿀 수 있습니다.
- 지수법칙: 분수를 음수 지수로 바꾸는 성질($\frac{1}{a^n} = a^{-n}$)과 거듭제곱의 거듭제곱 성질($(a^m)^n = a^{mn}$)을 이용합니다.
- 지수 비교하기: 밑이 $a^f(x) = a^g(x)$ (단, $a > 0, a \neq 1$) 형태로 같아지면, 지수끼리 같다고 놓고($f(x) = g(x)$) 방정식을 풀면 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 우변의 밑을 $3$으로 통일하기
좌변의 밑은 $3$이므로, 우변의 $\frac{1}{27}$도 밑이 $3$인 거듭제곱으로 나타내어 봅시다.
먼저 $27$은 $3^3$입니다. 따라서 역수인 $\frac{1}{27}$은 음수 지수를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$$
이제 우변의 식 전체를 정리해 봅시다. 지수법칙 $(a^m)^n = a^{mn}$을 적용합니다.
$$\left(\frac{1}{27}\right)^x = (3^{-3})^x = 3^{-3x}$$
2단계: 양변의 지수 비교하기
1단계에서 구한 식을 원래 방정식에 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$3^{x-8} = 3^{-3x}$$
양변의 밑이 $3$으로 서로 같으므로, 이 등식이 성립하려면 지수 부분이 서로 같아야 합니다.
$$x - 8 = -3x$$
3단계: 일차방정식 풀어 $x$ 구하기
이제 $x$에 대한 일차방정식을 풀어봅시다. $x$가 포함된 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항합니다.
$$x + 3x = 8$$
$$4x = 8$$
양변을 $4$로 나누면 우리가 구하고자 하는 $x$의 값을 얻을 수 있습니다.
$$x = 2$$
답
$$x = 2$$
확인해보기
오늘 배운 방법을 잘 이해했는지 확인하기 위해 다음 문제를 스스로 풀어보세요.
> 질문: 방정식 $2^{x-5} = \left(\frac{1}{8}\right)^x$을 만족시키는 실수 $x$의 값은 무엇일까요? (힌트: 밑을 $2$로 통일해 보세요!)