어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$의 $x=1$에서의 미분계수(순간변화율)인 $f'(1)$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **미분계수 ($f'(a)$)**: 함수 $f(x)$를 미분하여 도함수 $f'(x)$를 구한 뒤, $x=a$를 대입한 값입니다.
- 곱의 미분법: 두 식의 곱으로 이루어진 함수를 미분할 때는 다음과 같은 공식을 사용합니다.
$$ \{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x) $$
*(물론 식을 먼저 전개한 뒤에 각각 미분해도 괜찮습니다!)*
단계별 풀이
1단계: 도함수 $f'(x)$ 구하기 (곱의 미분법 적용)
함수 $f(x) = (x+1)(x^2+3)$은 두 식 $(x+1)$과 $(x^2+3)$의 곱으로 이루어져 있습니다. 곱의 미분법을 적용해 봅시다.
앞의 식을 $g(x) = x+1$, 뒤의 식을 $h(x) = x^2+3$이라고 생각하면:
- $g'(x) = 1$
- $h'(x) = 2x$
이제 곱의 미분법 공식에 대입합니다.
$$f'(x) = (x+1)'(x^2+3) + (x+1)(x^2+3)'$$
각각 미분한 값을 넣어 식을 정리해 볼까요?
$$f'(x) = 1 \cdot (x^2+3) + (x+1) \cdot (2x)$$
$$f'(x) = x^2 + 3 + 2x^2 + 2x$$
$$f'(x) = 3x^2 + 2x + 3$$
> 참고 (다른 방법):
> 처음부터 $f(x)$를 전개하면 $f(x) = x^3 + x^2 + 3x + 3$이 됩니다. 이 식을 미분해도 똑같이 $f'(x) = 3x^2 + 2x + 3$을 얻을 수 있습니다. 편한 방법을 선택하면 됩니다!
2단계: $x=1$ 대입하여 $f'(1)$ 구하기
우리가 구한 도함수 $f'(x) = 3x^2 + 2x + 3$에 $x=1$을 대입하여 최종 미분계수를 구합니다.
$$f'(1) = 3(1)^2 + 2(1) + 3$$
$$f'(1) = 3 + 2 + 3$$
$$f'(1) = 8$$
답
$$8$$
확인해보기
오늘 배운 곱의 미분법을 잘 이해했는지 다음 문제를 통해 스스로 확인해 보세요.
> 질문: 함수 $g(x) = (x-2)(x^2+1)$에 대하여 $g'(2)$의 값은 무엇일까요? 위의 단계에 따라 천천히 계산해 보세요!