어떤 문제인가
이 문제는 수열의 합을 나타내는 기호인 **시그마($\sum$)의 기본 성질**을 잘 이해하고 있는지 묻는 문제입니다. 복잡해 보이는 식을 시그마의 성질을 이용해 단순하게 바꾸는 것이 핵심입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 시그마의 분배와 상수배: $\sum (ca_k + db_k) = c\sum a_k + d\sum b_k$ (단, $c, d$는 상수)
- 상수의 시그마: $\sum_{k=1}^{n} c = c \times n$ (상수를 $n$번 더한다는 의미)
- 치환을 통한 연립방정식 풀이: 복잡한 시그마 식을 간단한 문자 $A, B$로 치환하여 생각하기
단계별 풀이
1단계: 복잡한 시그마 식을 간단한 문자로 치환하기
매번 $\sum_{k=1}^{10} a_k$와 $\sum_{k=1}^{10} b_k$를 쓰고 계산하면 식이 복잡해 보여 실수하기 쉽습니다. 그래서 이 두 값을 각각 다음과 같이 간단한 문자로 치환해 봅시다.
$$\sum_{k=1}^{10} a_k = A, \quad \sum_{k=1}^{10} b_k = B$$
우리가 구하고자 하는 최종 목표는 바로 $B$의 값입니다.
2단계: 첫 번째 조건식 정리하기
첫 번째 조건식은 다음과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{10} a_k = \sum_{k=1}^{10} (2b_k - 1)$$
좌변은 우리가 $A$로 치환했습니다. 우변은 시그마의 성질을 이용해서 쪼개어 봅시다.
$$\sum_{k=1}^{10} (2b_k - 1) = 2\sum_{k=1}^{10} b_k - \sum_{k=1}^{10} 1$$
여기서 아주 중요한 주의점이 있습니다! $\sum_{k=1}^{10} 1$은 $1$이 아니라, **$1$을 $10$번 더했다**는 뜻이므로 $1 \times 10 = 10$이 됩니다.
따라서 우변은 $2B - 10$이 됩니다. 이 식을 정리하면 다음과 같은 첫 번째 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$A = 2B - 10 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
3단계: 두 번째 조건식 정리하기
두 번째 조건식은 다음과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{10} (3a_k + b_k) = 33$$
이 식도 시그마의 성질을 이용해 각각 쪼개어 정리해 봅시다.
$$3\sum_{k=1}^{10} a_k + \sum_{k=1}^{10} b_k = 33$$
우리가 치환한 $A$와 $B$를 대입하면 다음과 같은 두 번째 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$3A + B = 33 \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
4단계: 연립방정식 풀어 $B$ 구하기
이제 중학교 때 배웠던 연립방정식을 풀 차례입니다.
- $\text{(식 1)}: A = 2B - 10$
- $\text{(식 2)}: 3A + B = 33$
$\text{(식 1)}$의 $A$ 값을 $\text{(식 2)}$에 대입해 봅시다(대입법).
$$3(2B - 10) + B = 33$$
괄호를 풀어서 정리합니다.
$$6B - 30 + B = 33$$
$$7B - 30 = 33$$
양변에 $30$을 더합니다.
$$7B = 63$$
양변을 $7$로 나누면 우리가 구하고자 했던 $B$의 값을 얻을 수 있습니다.
$$B = 9$$
답
$$\sum_{k=1}^{10} b_k = 9$$
확인해보기
오늘 배운 시그마의 성질을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
> [질문]
> 어떤 수열 $\{x_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{5} (x_k + 3) = 20$ 일 때, $\sum_{k=1}^{5} x_k$의 값은 얼마일까요? (상수의 시그마 성질에 주의해서 풀어보세요!)