어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각함수 $f(x)$를 이용하여 복잡해 보이는 부등식을 만족하는 자연수 $x$의 값을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 삼각함수의 각 변환 공식: $\sin\left(\frac{\pi}{2} \pm \theta\right) = \cos\theta$ 임을 이용하여 식을 단순화합니다.
- 삼각부등식의 풀이: 제곱근을 포함한 부등식을 풀고, 코사인 함수의 값의 범위를 구합니다.
- 삼각함수의 주기성과 대칭성: 코사인 함수가 특정 값을 갖는 주기적인 규칙을 찾아 자연수 해를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 각 변환 공식을 이용해 식 단순화하기
먼저 문제에서 주어진 $f(2+x)$와 $f(2-x)$를 구해보겠습니다. 함수 $f(x) = \sin \frac{\pi}{4}x$에 각각 대입해 봅시다.
$$f(2+x) = \sin\left( \frac{\pi}{4}(2+x) \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}x \right)$$
$$f(2-x) = \sin\left( \frac{\pi}{4}(2-x) \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x \right)$$
여기서 삼각함수의 각 변환 공식인 $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos\theta$와 $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$를 적용해 봅시다. $\theta = \frac{\pi}{4}x$라고 생각하면 두 식은 다음과 같이 아주 간단해집니다.
$$f(2+x) = \cos\left(\frac{\pi}{4}x\right)$$
$$f(2-x) = \cos\left(\frac{\pi}{4}x\right)$$
따라서 문제의 부등식 $f(2+x)f(2-x) < \frac{1}{4}$은 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.
$$\cos^2\left(\frac{\pi}{4}x\right) < \frac{1}{4}$$
2단계: 삼각부등식 풀기
이제 $\cos^2\left(\frac{\pi}{4}x\right) < \frac{1}{4}$라는 부등식을 풀어봅시다. 양변에 제곱근을 취하면 코사인 값의 범위는 다음과 같이 나옵니다.
$$-\frac{1}{2} < \cos\left(\frac{\pi}{4}x\right) < \frac{1}{2}$$
즉, 우리는 $\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right)$의 값이 $-\frac{1}{2}$보다 크고 $\frac{1}{2}$보다 작아지는 자연수 $x$를 찾아야 합니다.
3단계: 자연수 $x$의 값 대입하여 규칙 찾기
문제에서 $x$의 범위는 $0 < x < 16$인 자연수라고 했습니다. 즉, $x$는 $1$부터 $15$까지의 자연수입니다.
코사인 함수 $\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right)$는 $x$가 $8$씩 커질 때마다 주기가 반복됩니다. (주기 $T = \frac{2\pi}{\pi/4} = 8$)
따라서 우선 첫 번째 주기인 $x = 1$부터 $8$까지 대입해 보며 조건을 만족하는지 확인해 봅시다.
- $x=1$ 일 때: $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ (범위 초과, X)
- $x=2$ 일 때: $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ ($-0.5 < 0 < 0.5$ 이므로 만족, O)
- $x=3$ 일 때: $\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$ (범위 미만, X)
- $x=4$ 일 때: $\cos\pi = -1$ (범위 미만, X)
- $x=5$ 일 때: $\cos\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$ (범위 미만, X)
- $x=6$ 일 때: $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$ ($-0.5 < 0 < 0.5$ 이므로 만족, O)
- $x=7$ 일 때: $\cos\frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ (범위 초과, X)
- $x=8$ 일 때: $\cos2\pi = 1$ (범위 초과, X)
첫 번째 주기($0 < x \le 8$)에서 조건을 만족하는 자연수는 $x = 2, 6$입니다.
4단계: 전체 범위($0 < x < 16$)에서 모든 해 구하기
함수의 주기가 $8$이므로, 두 번째 주기($8 < x < 16$)에서의 해는 첫 번째 주기의 해에 각각 $8$을 더한 값과 같습니다.
- $x = 2 + 8 = 10$
- $x = 6 + 8 = 14$
실제로 $x=10, 14$를 대입하면 코사인 값이 $0$이 되어 부등식을 만족합니다.
따라서 구하고자 하는 모든 자연수 $x$의 값은 $2, 6, 10, 14$입니다.
이 값들의 합을 구하면 다음과 같습니다.
$$2 + 6 + 10 + 14 = 32$$
답
$$32$$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다!
> [질문]
> 만약 함수가 $g(x) = \sin \frac{\pi}{2}x$ 이고 범위가 $0 < x < 8$ 일 때, 부등식 $g(1+x)g(1-x) < \frac{1}{4}$ 을 만족하는 자연수 $x$는 어떤 것들이 있을까요? 위 풀이 과정을 참고하여 스스로 구해보세요. (답은 직접 계산해보고 확인해보세요!)