어떤 문제인가
이 문제는 주어진 다항함수 $f(x)$에 대하여 특정 극한값의 계산을 요구하고 있습니다. 하지만 이 극한 식의 형태를 잘 보면, 우리가 미분단원에서 배운 매우 중요한 개념을 담고 있습니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 미분계수의 정의: 극한 식 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$가 의미하는 것이 바로 $x=a$에서의 미분계수 $f'(a)$라는 점을 이해해야 합니다.
- 다항함수의 미분법: 함수 $f(x)$를 미분하여 도함수 $f'(x)$를 구하는 공식을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 구하고자 하는 극한 식의 의미 파악하기
문제에서 구하라고 한 식은 다음과 같습니다.
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$$
이 식은 미분계수의 정의에 의해 **함수 $f(x)$의 $x=2$에서의 미분계수, 즉 $f'(2)$**를 의미합니다.
따라서 우리는 복잡하게 극한 계산을 직접 할 필요 없이, 함수 $f(x)$를 미분한 뒤 $x=2$를 대입하면 됩니다.
2단계: 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$ 구하기
주어진 함수는 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3$입니다. 다항함수의 미분 공식($(x^n)' = n x^{n-1}$)을 이용하여 각 항을 미분해 봅시다.
- $2x^3$을 미분하면: $2 \times 3x^2 = 6x^2$
- $-5x^2$을 미분하면: $-5 \times 2x = -10x$
- 상수항 $3$을 미분하면: $0$
이것들을 모두 더하면 도함수 $f'(x)$를 구할 수 있습니다.
$$f'(x) = 6x^2 - 10x$$
3단계: $x=2$에서의 미분계수 $f'(2)$ 계산하기
이제 구한 도함수 $f'(x)$에 $x=2$를 대입하여 최종 답을 구합니다.
$$f'(2) = 6(2)^2 - 10(2)$$
$$f'(2) = 6(4) - 20$$
$$f'(2) = 24 - 20 = 4$$
따라서 구하고자 하는 극한값은 $4$입니다.
답
**④ $4$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다.
> 질문: 함수 $g(x) = x^2 + 3x$ 일 때, 극한값 $\lim_{h \to 0} \frac{g(1+h) - g(1)}{h}$의 값은 무엇일까요? 위에서 배운 미분계수의 정의와 미분법을 사용해서 스스로 구해보세요!