어떤 문제인가
이 문제는 함수의 그래프와 접선, 그리고 원의 성질을 결합한 기하학적 문장제 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 접선의 방정식: 곡선 위의 한 점에서의 미분계수를 이용해 접선의 기울기를 구하고 접선의 방정식을 세웁니다.
- 원주각의 성질 (탈레스의 정리): 선분 $OB$를 지름으로 하는 원 위의 점 $A$에 대하여, 각 $\angle\text{OAB}$는 항상 직각($90^\circ$)이 됩니다. 즉, 두 선분 $OA$와 $AB$는 서로 수직입니다.
- 두 직선의 수직 조건: 두 직선이 서로 수직이면 두 직선의 기울기의 곱은 $-1$입니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $\text{O}(0,0)$에서의 접선과 점 $\text{A}$의 좌표 구하기
먼저 점 $\text{O}(0,0)$에서의 접선의 방정식을 구해봅시다. 접선의 기울기를 알기 위해 함수 $f(x)$를 미분합니다.
$$f'(x) = -3x^2 + 2ax + 2$$
점 $\text{O}(0,0)$에서의 접선의 기울기는 $f'(0)$이므로,
$$f'(0) = 2$$
따라서 점 $\text{O}$에서의 접선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y = 2x$$
이 접선이 곡선 $y=f(x)$와 만나는 또 다른 점 $\text{A}$를 구하기 위해 두 식을 연립합니다.
$$-x^3 + ax^2 + 2x = 2x$$
$$x^2(a - x) = 0$$
$x=0$은 접점(중근)이므로, 우리가 찾는 점 $\text{A}$의 $x$좌표는 $x = a$입니다.
점 $\text{A}$는 접선 $y=2x$ 위의 점이기도 하므로, 점 $\text{A}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\text{A}(a, 2a)$$
2단계: 점 $\text{A}$에서의 접선과 점 $\text{B}$의 좌표 구하기
이제 점 $\text{A}(a, 2a)$에서의 접선의 방정식을 구합시다. 이 접선의 기울기는 $f'(a)$입니다.
$$f'(a) = -3a^2 + 2a^2 + 2 = -a^2 + 2$$
따라서 점 $\text{A}$에서의 접선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y - 2a = (-a^2 + 2)(x - a)$$
이 접선이 $x$축과 만나는 점이 $\text{B}$이므로, $y=0$을 대입하여 점 $\text{B}$의 $x$좌표를 구합니다.
$$-2a = (-a^2 + 2)(x - a)$$
$$x - a = \frac{-2a}{-a^2 + 2} = \frac{2a}{a^2 - 2}$$
$$x = a + \frac{2a}{a^2 - 2} = \frac{a(a^2 - 2) + 2a}{a^2 - 2} = \frac{a^3}{a^2 - 2}$$
따라서 점 $\text{B}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\text{B}\left(\frac{a^3}{a^2 - 2}, 0\right)$$
3단계: 원의 성질을 이용하여 $a^2$ 값 구하기
문제에서 "점 $\text{A}$가 선분 $\text{OB}$를 지름으로 하는 원 위의 점"이라고 했습니다. 지름에 대한 원주각은 항상 $90^\circ$이므로, $\angle\text{OAB} = 90^\circ$입니다.
즉, **선분 $\text{OA}$와 선분 $\text{AB}$는 서로 수직**입니다.
- 선분 $\text{OA}$의 기울기는 점 $\text{O}$에서의 접선의 기울기와 같으므로 $2$입니다.
- 선분 $\text{AB}$의 기울기는 점 $\text{A}$에서의 접선의 기울기와 같으므로 $-a^2 + 2$입니다.
두 직선이 수직이므로 기울기의 곱은 $-1$이 되어야 합니다.
$$2 \times (-a^2 + 2) = -1$$
$$-2a^2 + 4 = -1$$
$$2a^2 = 5 \implies a^2 = \frac{5}{2}$$
조건에서 $a > \sqrt{2}$라고 했으므로 $a^2 > 2$를 만족하는 아주 예쁜 값이 나왔네요!
4단계: $\overline{\text{OA}} \times \overline{\text{AB}}$의 값 계산하기
$\angle\text{OAB} = 90^\circ$인 직각삼각형 $\text{OAB}$에서 각 변의 길이를 $a$를 이용해서 나타내 봅시다.
먼저 점 $\text{B}$의 $x$좌표에 $a^2 = \frac{5}{2}$를 대입해 간단히 만듭니다.
$$x_B = \frac{a^3}{a^2 - 2} = \frac{a \cdot a^2}{a^2 - 2} = \frac{a \cdot \frac{5}{2}}{\frac{5}{2} - 2} = \frac{\frac{5}{2}a}{\frac{1}{2}} = 5a$$
따라서 점 $\text{B}$의 좌표는 $(5a, 0)$이 됩니다.
이제 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 길이를 구합니다.
- $\text{O}(0,0)$, $\text{A}(a, 2a)$이므로,
$$\overline{\text{OA}} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$$
- $\text{A}(a, 2a)$, $\text{B}(5a, 0)$이므로,
$$\overline{\text{AB}} = \sqrt{(5a - a)^2 + (0 - 2a)^2} = \sqrt{(4a)^2 + (-2a)^2} = \sqrt{20a^2} = 2a\sqrt{5}$$
우리가 구하고자 하는 값은 $\overline{\text{OA}} \times \overline{\text{AB}}$입니다.
$$\overline{\text{OA}} \times \overline{\text{AB}} = (a\sqrt{5}) \times (2a\sqrt{5}) = 10a^2$$
앞서 구한 $a^2 = \frac{5}{2}$를 대입하면,
$$\overline{\text{OA}} \times \overline{\text{AB}} = 10 \times \frac{5}{2} = 25$$
답
$$25$$
확인해보기
선분 $\text{OB}$가 원의 지름이고 점 $\text{A}$가 원 위의 점일 때, 왜 $\angle\text{OAB} = 90^\circ$가 되는지 원의 '중심각과 원주각의 성질'을 이용하여 스스로 설명해 보세요.