어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$와 움직이는 구간 $[t-1, t+1]$에서의 최댓값 함수 $g(t)$의 관계를 이해하고, $g(t)$의 최솟값이 $5$가 되도록 하는 미지수 $a$의 조건을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 이차함수와 로그함수의 그래프: 각 범위에서 함수의 증가·감소 상태와 함숫값을 파악합니다.
- **움직이는 구간에서의 최댓값 ($g(t)$)**: 구간의 양 끝값 $t-1$과 $t+1$이 변함에 따라 구간 내에서 가장 큰 값(최댓값)이 어떻게 변하는지 추적합니다.
- 조건을 만족하는 영역 분석: $g(t) \ge 5$가 항상 성립하기 위해 그래프가 끊기지 않고 이어져야 하는 조건을 경계 영역을 통해 분석합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$의 그래프 분석하기
먼저 $f(x)$가 어떻게 생겼는지 알아야 합니다. $f(x)$는 $x=6$을 기준으로 두 부분으로 나뉩니다.
- **$x < 6$ 일 때 (이차함수)**:
$$f(x) = -x^2 + 6x = -(x-3)^2 + 9$$
이 그래프는 위로 볼록한 포물선이며, 꼭짓점은 $(3, 9)$입니다.
경계점인 $x=6$에서의 좌극한을 구해보면 $\lim_{x \to 6^-} f(x) = 0$입니다.
- **$x \ge 6$ 일 때 (로그함수)**:
$$f(x) = a \log_4(x-5) \quad (a > 0)$$
이 그래프는 $x$가 증가할 때 함께 증가하는 로그함수입니다.
$x=6$을 대입하면 $f(6) = a \log_4(1) = 0$이므로, 이 함수는 $x=6$에서 연속입니다.
즉, $f(x)$는 $x=3$에서 최댓값 $9$를 찍고 내려와 $x=6$에서 $0$이 된 후, 다시 오른쪽으로 갈수록 계속 증가하는 형태의 그래프를 가집니다.
2단계: 최댓값 함수 $g(t)$의 의미 이해하기
$g(t)$는 닫힌구간 $[t-1, t+1]$에서 $f(x)$의 최댓값입니다. 이 구간의 길이는 항상 $2$로 일정하며, $t$가 커질수록 구간이 오른쪽으로 이동합니다.
- $t=0$일 때, 구간은 $[-1, 1]$입니다. 이 구간에서 $f(x)$는 증가하므로 최댓값은 오른쪽 끝인 $x=1$에서 가집니다.
$$g(0) = f(1) = -1^2 + 6(1) = 5$$
- $t$가 증가하여 구간이 오른쪽으로 이동하면, 구간 안에 꼭짓점 $x=3$이 들어오게 됩니다. 이때 $g(t)$는 꼭짓점의 함숫값인 $9$로 일정하게 유지됩니다.
- 구간이 꼭짓점을 지나 더 오른쪽으로 가면, $f(x)$가 감소하는 영역에 들어가므로 $g(t)$도 감소하기 시작합니다.
- 하지만 $x \ge 6$ 영역부터는 $f(x)$가 다시 증가하므로, 구간이 오른쪽으로 더 이동하면 $g(t)$는 다시 증가하게 됩니다.
따라서 $g(t)$는 $5$에서 시작해 $9$까지 올라갔다가, 다시 내려갔다가, 결국에는 무한히 커지는 형태를 가집니다.
3단계: $g(t)$의 최솟값이 $5$가 되기 위한 조건 분석하기
문제에서 $t \ge 0$인 모든 $t$에 대해 $g(t)$의 최솟값이 $5$가 되어야 한다고 했습니다.
이미 $t=0$일 때 $g(0) = 5$이므로, $g(t)$의 최솟값이 $5$가 되려면 **모든 $t \ge 0$에 대해 $g(t) \ge 5$**를 만족해야 합니다. 만약 어떤 순간에 $g(t) < 5$가 된다면 최솟값이 $5$보다 작아지기 때문입니다.
$g(t) \ge 5$라는 것은, **길이가 2인 임의의 구간 $[t-1, t+1]$을 어디에 잡더라도 그 구간 안에 $f(x) \ge 5$인 부분이 적어도 하나는 존재해야 한다**는 뜻입니다.
4단계: $f(x) \ge 5$인 영역 구하기
$f(x)$의 값이 $5$ 이상이 되는 $x$의 범위를 구해봅시다.
- **이차함수 영역 ($x < 6$)**:
$$-x^2 + 6x \ge 5 \implies x^2 - 6x + 5 \le 0 \implies (x-1)(x-5) \le 0$$
따라서 $1 \le x \le 5$ 일 때 $f(x) \ge 5$입니다.
- **로그함수 영역 ($x \ge 6$)**:
$$a \log_4(x-5) \ge 5 \implies \log_4(x-5) \ge \frac{5}{a} \implies x-5 \ge 4^{5/a}$$
따라서 $x \ge 5 + 4^{5/a}$ 일 때 $f(x) \ge 5$입니다.
결국 $f(x) \ge 5$인 영역은 다음과 같이 두 군데로 나뉩니다:
$$x \in [1, 5] \quad \text{또는} \quad x \in [5 + 4^{5/a}, \infty)$$
5단계: 구간이 끊기지 않도록 하는 $a$의 조건 구하기
이제 길이가 $2$인 구간 $[t-1, t+1]$을 움직여 봅시다. 이 구간이 위의 두 영역 중 어느 곳과도 만나지 못하고 그 사이의 '공백'에 완전히 빠져버리는 순간이 있으면 안 됩니다.
- 구간 $[t-1, t+1]$이 첫 번째 영역 $[1, 5]$를 완전히 벗어나는 순간은 오른쪽 끝인 $t-1 > 5$, 즉 $t > 6$일 때입니다.
- 구간 $[t-1, t+1]$이 두 번째 영역 $[5 + 4^{5/a}, \infty)$에 들어가기 시작하는 순간은 $t+1 \ge 5 + 4^{5/a}$, 즉 $t \ge 4 + 4^{5/a}$일 때입니다.
만약 첫 번째 영역을 벗어나기 전에 이미 두 번째 영역에 닿아 있다면, 공백에 빠지는 일 없이 항상 $g(t) \ge 5$를 유지할 수 있습니다.
즉, 두 번째 영역에 들어가기 시작하는 시점($4 + 4^{5/a}$)이 첫 번째 영역을 벗어나는 시점($6$)보다 작거나 같아야 합니다.
$$4 + 4^{5/a} \le 6$$
이 부등식을 풀어봅시다.
$$4^{5/a} \le 2$$
$$2^{10/a} \le 2^1$$
지수를 비교하면:
$$\frac{10}{a} \le 1 \implies a \ge 10 \quad (\because a > 0)$$
따라서 양수 $a$의 최솟값은 $10$입니다.
답
$$10$$
확인해보기
만약 구간의 길이가 $2$가 아니라 $4$였다면 어땠을까요? 즉, $g(t)$가 닫힌구간 $[t-2, t+2]$에서의 $f(x)$의 최댓값이고, $g(t)$의 최솟값이 $5$가 되도록 하는 양수 $a$의 최솟값을 구하는 식을 세워보세요. (직접 계산하지 않고 식만 세워보아도 좋습니다.)