어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건을 만족하는 삼차함수 $f(x)$를 구하고, 이를 이용해 $f(8)$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 삼차함수의 그래프 개형과 극한: 삼차함수는 실수 전체에서 연속이며, 최고차항의 계수가 양수이면 $x \to \infty$일 때 $f(x) \to \infty$, $x \to -\infty$일 때 $f(x) \to -\infty$로 발산합니다.
- 정수 조건과 부호 변화: 조건 $f(k-1)f(k+1) \ge 0$은 간격이 $2$인 두 정수 지점에서의 함숫값의 부호가 서로 반대(하나가 양수이고 하나가 음수)가 될 수 없음을 의미합니다.
- 도함수와 미분계수: 주어진 미분계수 조건($f'(-1/4) = -1/4$, $f'(1/4) < 0$)을 통해 삼차함수의 구체적인 계수를 결정합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 $f(k-1)f(k+1) < 0$을 만족하는 정수 $k$가 존재하지 않는다의 의미 파악하기
이 조건은 모든 정수 $k$에 대하여 다음이 성립한다는 뜻입니다.
$$f(k-1)f(k+1) \ge 0$$
삼차함수 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$이므로, $x$가 아주 커지면 $f(x) > 0$이 되고, $x$가 아주 작아지면 $f(x) < 0$이 됩니다. 즉, 정수 $n$에 대해 $f(n)$의 부호는 왼쪽에서는 음수($-$)이다가 오른쪽으로 갈수록 결국 양수($+$)로 변하게 됩니다.
만약 $f(x)$가 정수 근을 갖지 않는다면, 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 경계가 생깁니다. 예를 들어 어떤 정수 $m$에 대해 $f(m) < 0$이고 $f(m+1) > 0$이라고 해봅시다.
이때 위의 조건에 의해:
- $k=m$ 대입: $f(m-1)f(m+1) \ge 0 \implies f(m-1) \ge 0$ (왜냐하면 $f(m+1) > 0$이므로)
- $k=m+1$ 대입: $f(m)f(m+2) \ge 0 \implies f(m+2) \le 0$ (왜냐하면 $f(m) < 0$이므로)
이렇게 되면 정수 점에서의 부호가 $f(m-1) \ge 0$, $f(m) < 0$, $f(m+1) > 0$, $f(m+2) \le 0$이 되어 부호가 계속 진동하게 됩니다. 삼차함수는 극값이 최대 2개뿐이므로 이런 진동을 할 수 없습니다.
따라서, **$f(x)$는 반드시 적어도 하나의 정수 근을 가져야 합니다.**
2단계: 도함수 조건을 통해 정수 근 위치 추정하기
문제에서 $f'\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{4} < 0$이고 $f'\left(\frac{1}{4}\right) < 0$이라고 했습니다.
이것은 $x = -\frac{1}{4}$과 $x = \frac{1}{4}$ 부근에서 함수 $f(x)$가 감소하고 있음을 뜻합니다.
삼차함수가 감소하는 구간 근처에 정수 근이 존재해야 하므로, 가장 유력한 정수 근은 $x = 0$입니다.
따라서 $f(0) = 0$이라고 가정하고 식을 세워봅시다. (만약 다른 정수가 근이라면 평행이동을 통해 생각할 수 있습니다.)
$f(0) = 0$이므로 삼차함수 $f(x)$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$f(x) = x^3 + ax^2 + bx$$
3단계: 미분계수 조건 적용하기
$f(x)$를 미분하면 다음과 같습니다.
$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$
여기에 $f'\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{4}$을 대입합니다.
$$f'\left(-\frac{1}{4}\right) = 3\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 2a\left(-\frac{1}{4}\right) + b = -\frac{1}{4}$$
$$\frac{3}{16} - \frac{1}{2}a + b = -\frac{1}{4}$$
양변에 $16$을 곱하여 정리하면:
$$3 - 8a + 16b = -4 \implies 16b = 8a - 7 \implies b = \frac{1}{2}a - \frac{7}{16} \quad \cdots \text{(1)}$$
또한, $f'\left(\frac{1}{4}\right) < 0$ 조건을 적용합니다.
$$f'\left(\frac{1}{4}\right) = 3\left(\frac{1}{4}\right)^2 + 2a\left(\frac{1}{4}\right) + b < 0$$
$$\frac{3}{16} + \frac{1}{2}a + b < 0 \quad \cdots \text{(2)}$$
식 (1)을 식 (2)에 대입합니다.
$$\frac{3}{16} + \frac{1}{2}a + \left(\frac{1}{2}a - \frac{7}{16}\right) < 0$$
$$a - \frac{4}{16} < 0 \implies a < \frac{1}{4} \quad \cdots \text{(3)}$$
4단계: 정수 조건 $f(-1)f(1) \ge 0$ 적용하기
$f(0) = 0$이므로, $k=0$일 때 조건은 다음과 같습니다.
$$f(-1)f(1) \ge 0$$
$f(-1)$과 $f(1)$을 구해보면:
$$f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) = -1 + a - b$$
$$f(1) = 1^3 + a(1)^2 + b(1) = 1 + a + b$$
여기에 식 (1)의 $b = \frac{1}{2}a - \frac{7}{16}$을 대입합니다.
$$f(-1) = -1 + a - \left(\frac{1}{2}a - \frac{7}{16}\right) = \frac{1}{2}a - \frac{9}{16}$$
$$f(1) = 1 + a + \left(\frac{1}{2}a - \frac{7}{16}\right) = \frac{3}{2}a + \frac{9}{16}$$
두 값의 곱이 $0$ 이상이어야 하므로:
$$\left(\frac{1}{2}a - \frac{9}{16}\right)\left(\frac{3}{2}a + \frac{9}{16}\right) \ge 0$$
양변에 $16 \times 16$을 곱하여 식을 보기 좋게 만듭니다.
$$(8a - 9)(24a + 9) \ge 0 \implies (8a - 9)(8a + 3) \ge 0$$
이 부등식의 해는 다음과 같습니다.
$$a \le -\frac{3}{8} \quad \text{또는} \quad a \ge \frac{9}{8}$$
그런데 식 (3)에서 $a < \frac{1}{4}$이어야 하므로, 가능한 $a$의 범위는 다음과 같습니다.
$$a \le -\frac{3}{8} \quad \cdots \text{(4)}$$
5단계: 경계값 결정하기 ($a$의 값 확정)
만약 $a < -\frac{3}{8}$이라면, $f(1) = \frac{3}{2}a + \frac{9}{16} < 0$이 됩니다.
$f(0) = 0$이고 $f(1) < 0$인데, 삼차함수는 결국 $x \to \infty$일 때 양수가 되어야 하므로 언젠가는 다시 $x$축을 뚫고 올라가야 합니다.
만약 $f(1) < 0$이고 $f(2) > 0$이라면 어떻게 될까요?
$k=1$일 때 조건 $f(0)f(2) \ge 0$은 $f(0)=0$이므로 만족하지만,
$k=2$일 때 조건 $f(1)f(3) \ge 0$을 만족하려면 $f(1) < 0$이므로 $f(3) \le 0$이어야 합니다.
이런 식으로 계속 가다 보면 결국 $f(x)$가 양수가 될 수 없거나 조건이 깨지게 됩니다.
이 모순을 해결하는 유일한 방법은 **$f(1) = 0$**이 되는 것입니다.
즉, $a = -\frac{3}{8}$일 때입니다.
이때 $b$의 값은 식 (1)에 의해 다음과 같습니다.
$$b = \frac{1}{2}\left(-\frac{3}{8}\right) - \frac{7}{16} = -\frac{3}{16} - \frac{7}{16} = -\frac{10}{16} = -\frac{5}{8}$$
따라서 구하고자 하는 삼차함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = x^3 - \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{8}x = x(x-1)\left(x + \frac{5}{8}\right)$$
6단계: $f(8)$ 계산하기
이제 구한 식에 $x = 8$을 대입합니다.
$$f(8) = 8 \times (8-1) \times \left(8 + \frac{5}{8}\right)$$
$$f(8) = 8 \times 7 \times \frac{69}{8}$$
$$f(8) = 7 \times 69 = 483$$
답
$$483$$
확인해보기
질문: 만약 삼차함수 $f(x)$의 최고차항의 계수가 $1$이 아니라 $-1$이었다면, $x \to \infty$와 $x \to -\infty$일 때의 함수 값의 부호는 어떻게 변할까요? 이 경우에도 정수 근이 반드시 존재해야 할지 스스로 생각해보세요.