어떤 문제인가
모든 정수 $k$에 대한 부호 조건과 두 미분계수 조건으로 삼차함수 $f(x)$를 결정하는 문제입니다. 먼저 정수인 근이 어디에 있어야 하는지를 증명해야 합니다. 감소하는 구간이 원점 근처라는 이유만으로 $f(0)=0$을 가정할 수는 없습니다.
단계별 풀이
1단계: 짝수인 근과 홀수인 근이 각각 존재함을 보이기
주어진 조건은 모든 정수 $k$에 대하여 $f(k-1)f(k+1)\ge0$이라는 뜻입니다. 따라서 이웃한 두 짝수 지점끼리, 그리고 이웃한 두 홀수 지점끼리 함숫값의 부호가 반대일 수 없습니다.
최고차항의 계수가 양수이므로 충분히 작은 정수에서 함숫값은 음수이고, 충분히 큰 정수에서는 양수입니다. 짝수인 근이 없다면 짝수 지점의 함숫값은 모두 0이 아니므로, 음수에서 양수로 바뀌는 이웃한 두 짝수가 반드시 생겨 조건에 어긋납니다. 홀수에 대해서도 같습니다. 따라서 짝수인 근과 홀수인 근이 각각 적어도 하나 있습니다.
$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$로 놓으면 $f'(-1/4)=-1/4$에서
$$16b=8a-7$$
을 얻습니다. 세 근이 모두 정수라면 $a,b$도 정수인데, 위 식의 좌변은 짝수, 우변은 홀수이므로 불가능합니다. 따라서 정수인 두 근을 $p<q$, 나머지 근을 $r$이라 하면 $r$은 정수가 아니고
$$f(x)=(x-p)(x-q)(x-r)$$
입니다. $p,q$의 홀짝은 서로 다릅니다.
2단계: 두 정수 근이 이웃함을 보이기
짝수 지점의 함숫값은 유일한 짝수 근보다 왼쪽에서 음수, 오른쪽에서 양수입니다. 근을 지나지 않고 같은 홀짝의 지점을 따라 부호가 바뀌면 주어진 조건에 어긋나기 때문입니다. 홀수 지점도 마찬가지입니다.
$q-p$는 양의 홀수입니다. 만약 $q-p\ge3$이면 $q-2$는 $q$와 같은 홀짝이고 그보다 작으므로 $f(q-2)<0$입니다. $q-1$은 $p$와 같은 홀짝이고 그보다 크므로 $f(q-1)>0$입니다.
그런데 두 지점 모두 $(p,q)$ 안에 있습니다. 이 구간에서 $(x-p)(x-q)<0$이므로 $f(q-2)<0$은 $r<q-2$를, $f(q-1)>0$은 $r>q-1$을 뜻합니다. 두 조건은 동시에 성립할 수 없습니다. 따라서
$$q=p+1$$
입니다.
3단계: 두 정수 근의 위치 확정하기
$p-1$은 $q$와 같은 홀짝이고 $q$보다 작으므로 $f(p-1)<0$입니다. 인수 형태에 대입하면 $r>p-1$을 얻습니다. 마찬가지로 $f(q+1)>0$에서 $r<q+1$입니다. 즉 세 근은 모두 $(p-1,q+1)$ 안에 있습니다.
세 실근이 서로 다르므로 도함수의 두 근은 각각 이웃한 실근 사이에 있습니다. 또 $f'(-1/4)<0$, $f'(1/4)<0$이고 도함수는 최고차항의 계수가 양수인 이차식이므로, 두 점 $-1/4,1/4$는 도함수의 두 근 사이에 있습니다. 따라서 가장 작은 실근은 $-1/4$보다 작고, 가장 큰 실근은 $1/4$보다 큽니다.
이를 앞의 범위와 합치면 $p-1<-1/4$, $q+1>1/4$입니다. $p,q$가 정수이므로 $p\le0$, $q\ge0$이고 $q=p+1$이므로 가능한 쌍은 $(-1,0)$ 또는 $(0,1)$입니다. 어느 경우든 $f(0)=0$입니다.
4단계: 계수와 최종 값 구하기
이제 $f(x)=x^3+ax^2+bx$로 쓸 수 있습니다. 미분계수 조건에서
$$b=\frac12a-\frac7{16}$$
이고, $f'(1/4)<0$에 대입하면 $a<1/4$입니다.
두 정수 근이 $-1,0$이라면 $f(-1)=a/2-9/16=0$에서 $a=9/8$이 되어 모순입니다. 따라서 정수 근은 $0,1$이고 $f(1)=3a/2+9/16=0$에서
$$a=-\frac38,\qquad b=-\frac58$$
입니다. 그러므로
$$f(x)=x(x-1)\left(x+\frac58\right)$$
이고,
$$f(8)=8\cdot7\cdot\frac{69}{8}=483$$
입니다.
검산
구한 함수는 $f'(-1/4)=-1/4$, $f'(1/4)=-5/8<0$을 만족합니다. 정수 $n\le-1$에서는 $f(n)<0$, $n=0,1$에서는 $f(n)=0$, $n\ge2$에서는 $f(n)>0$입니다. 따라서 차이가 2인 두 정수 지점의 곱은 항상 0 이상으로, 원래 부호 조건도 만족합니다.
답
$$483$$