어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각함수의 값과 각의 범위를 이용하여 다른 삼각함수($\tan\theta$)의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요:
- 삼각함수의 음각 공식: $\sin(-\theta)$와 $\sin\theta$의 관계 이해하기
- 사분면에 따른 삼각함수의 부호: 각 $\theta$가 몇 사분면에 있는지에 따라 $\sin, \cos, \tan$의 부호 결정하기
- 삼각함수 사이의 관계: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$과 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 공식 활용하기
단계별 풀이
1단계: 음각 공식을 이용해 $\sin\theta$ 값 구하기
먼저 조건에서 주어진 $\sin(-\theta) = \frac{1}{3}$을 정리해 봅시다.
사인($\sin$) 함수는 원점에 대해 대칭인 기함수이므로, 다음과 같은 성질을 가집니다.
$$\sin(-\theta) = -\sin\theta$$
이 성질을 문제에 적용하면 다음과 같습니다.
$$-\sin\theta = \frac{1}{3}$$
$$\sin\theta = -\frac{1}{3}$$
2단계: $\theta$의 범위를 보고 사분면과 삼각함수의 부호 파악하기
문제에서 $\theta$의 범위가 다음과 같이 주어졌습니다.
$$\frac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi$$
이 범위는 좌표평면에서 제4사분면에 해당합니다.
제4사분면에서의 삼각함수 부호(올-사-탄-코)를 기억하나요?
- $\sin\theta < 0$ (음수)
- $\cos\theta > 0$ (양수)
- $\tan\theta < 0$ (음수)
우리가 1단계에서 구한 $\sin\theta = -\frac{1}{3}$이 음수인 것과도 잘 일치하네요! 그리고 우리가 구해야 할 $\tan\theta$의 값은 음수가 되어야 한다는 사실을 미리 알 수 있습니다.
3단계: $\cos\theta$ 값 구하기
$\sin\theta$를 알 때 $\cos\theta$를 구하기 위해, 가장 중요한 공식인 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 이용합니다.
$$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$$
$$\cos^2\theta = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$
2단계에서 $\theta$가 제4사분면의 각이므로 $\cos\theta$는 양수여야 합니다. 따라서 제곱근 중 양수를 선택합니다.
$$\cos\theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$
4단계: $\tan\theta$ 값 계산하기
이제 마지막 단계입니다. 탄젠트의 정의($\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$)를 이용하여 값을 구합니다.
$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$$
분모와 분자에 각각 $3$을 곱해 정리하면 다음과 같습니다.
$$\tan\theta = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$$
분모를 유리화하기 위해 분모와 분자에 $\sqrt{2}$를 곱해줍니다.
$$\tan\theta = -\frac{\sqrt{2}}{4}$$
답
**② $-\frac{\sqrt{2}}{4}$**
확인해보기
공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 만약 $\theta$가 제3사분면의 각($\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$)이고 $\cos\theta = -\frac{4}{5}$라면, 이때 $\sin\theta$와 $\tan\theta$의 부호는 각각 어떻게 될까요?