어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 미지수 $a$의 값을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 함수의 연속성 (Continuity): 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있는 것을 말합니다. 수학적으로 $x=c$에서 연속이려면 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 합니다.
- 구간별로 정의된 함수의 연속: 경계가 되는 지점(이 문제에서는 $x=2$)을 제외한 나머지 구간에서는 다항함수이므로 항상 연속입니다. 따라서 경계점인 $x=2$에서만 연속이 되도록 만들어 주면 됩니다.
단계별 풀이
1단계: $x=2$에서 연속일 조건 세우기
함수 $f(x)$가 $x=2$에서 연속이려면, $x=2$로 갈 때의 왼쪽에서 다가오는 값(좌극한)과 오른쪽에서 다가오는 값(우극한), 그리고 실제 $x=2$에서의 값(함숫값)이 모두 같아야 합니다.
이것을 기호로 나타내면 다음과 같습니다.
$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$$
2단계: 좌극한 구하기
$x < 2$ 영역에서는 함수가 $f(x) = 3x - a$로 정의되어 있습니다. $x$가 $2$보다 작은 쪽에서 $2$에 가까워질 때의 극한값(좌극한)을 구해봅시다.
$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (3x - a) = 3(2) - a = 6 - a$$
3단계: 우극한과 함숫값 구하기
$x \ge 2$ 영역에서는 함수가 $f(x) = x^2 + a$로 정의되어 있습니다. $x$가 $2$보다 큰 쪽에서 $2$에 가까워질 때의 극한값(우극한)과 $x=2$일 때의 함숫값 $f(2)$를 구해봅시다.
$$\lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 2^2 + a = 4 + a$$
4단계: 두 값이 같아지도록 $a$의 값 계산하기
함수가 끊어지지 않고 이어지려면 2단계에서 구한 좌극한과 3단계에서 구한 우극한(및 함숫값)이 서로 같아야 합니다. 식을 세워볼까요?
$$6 - a = 4 + a$$
이 방정식을 풀어봅시다. 양변에 $a$를 더하고 $4$를 빼주면,
$$6 - 4 = a + a$$
$$2 = 2a$$
$$a = 1$$
따라서 $a$의 값은 $1$이 됩니다.
답
**① $1$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> **Q. 함수 $g(x) = \begin{cases} 2x + b & (x < 1) \\ x^2 - b & (x \ge 1) \end{cases}$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $b$의 값은 무엇일까요?**