어떤 문제인가
이 문제는 도함수(미분한 함수) $f'(x)$와 원래 함수의 한 점에서의 값 $f(1)$이 주어졌을 때, 원래 함수 $f(x)$를 복원하여 $f(2)$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 부정적분: 도함수 $f'(x)$를 원래 함수 $f(x)$로 되돌리는 연산입니다.
- **적분상수 $C$**: 부정적분을 할 때 생기는 상수항으로, 문제에서 주어진 조건($f(1)=6$)을 이용해 구해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 도함수 $f'(x)$ 전개하기
적분을 쉽게 하기 위해 곱의 형태로 되어 있는 도함수 $f'(x)$를 먼저 전개해 줍니다.
$$f'(x) = 3x(x-2) = 3x^2 - 6x$$
2단계: 부정적분을 통해 원래 함수 $f(x)$의 형태 찾기
도함수 $f'(x)$를 적분하여 원래 함수 $f(x)$를 구합니다. 이때, 미분했을 때 사라지는 상수항을 고려하여 **적분상수 $C$**를 반드시 붙여주어야 합니다.
$$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (3x^2 - 6x) \, dx$$
적분 공식($\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$)을 적용하면 다음과 같습니다.
$$f(x) = x^3 - 3x^2 + C \quad (\text{단, } C\text{는 적분상수})$$
3단계: 조건 $f(1)=6$을 이용하여 적분상수 $C$ 구하기
우리가 구한 $f(x)$ 식에 $x=1$을 대입했을 때 그 값이 $6$이 되어야 합니다. 이를 이용해 $C$의 값을 찾아봅시다.
$$f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + C = 6$$
$$1 - 3 + C = 6$$
$$-2 + C = 6$$
$$C = 8$$
따라서 완벽한 원래 함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = x^3 - 3x^2 + 8$$
4단계: $f(2)$의 값 구하기
이제 구하고자 하는 $f(2)$의 값을 계산하기 위해 $x=2$를 대입합니다.
$$f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 8$$
$$f(2) = 8 - 3(4) + 8$$
$$f(2) = 8 - 12 + 8 = 4$$
답
④ $4$
확인해보기
부정적분과 적분상수의 개념을 잘 이해했는지 확인해 봅시다.
> 질문: 만약 이 문제에서 조건이 $f(1) = 6$ 대신 **$f(0) = 5$**로 주어졌다면, $f(2)$의 값은 얼마가 될까요? 스스로 식을 세워 계산해 보세요.