어떤 문제인가
이 문제는 등비수열의 성질과 합의 정의를 이용하여 첫째항과 공비를 구하고, 이를 통해 특정 항들의 합을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어두어야 할 핵심 개념 2가지는 다음과 같습니다.
- 수열의 합과 일반항의 관계: $S_n$은 첫째항부터 제$n$항까지의 합입니다. 따라서 $S_n - S_{n-2}$와 같이 합의 차를 이용하면 특정 항들만 남길 수 있습니다.
- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 일반항은 $a_n = a r^{n-1}$입니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 조건식 $S_4 - S_2 = 3a_4$ 간단히 하기
먼저 $S_4$와 $S_2$의 정의를 생각해 봅시다.
- $S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$
- $S_2 = a_1 + a_2$
이 두 식을 빼면 어떻게 될까요? 앞의 두 항($a_1, a_2$)이 사라지고 뒤의 두 항만 남게 됩니다.
$$S_4 - S_2 = a_3 + a_4$$
이 식을 문제에서 주어진 조건에 대입해 봅시다.
$$a_3 + a_4 = 3a_4$$
우변의 $a_4$를 좌변으로 이항하여 정리하면 다음과 같은 아주 단순한 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$a_3 = 2a_4$$
2단계: 공비 $r$ 구하기
이제 등비수열의 일반항 공식($a_n = a r^{n-1}$)을 사용해 봅시다.
$a_3$과 $a_4$를 첫째항 $a$와 공비 $r$로 나타내면 다음과 같습니다.
- $a_3 = a r^2$
- $a_4 = a r^3$
이것을 1단계에서 구한 식 $a_3 = 2a_4$에 대입해 볼까요?
$$a r^2 = 2 a r^3$$
등비수열에서 첫째항 $a$와 공비 $r$은 $0$이 아니므로, 양변을 $a r^2$으로 나누어 줄 수 있습니다.
$$1 = 2r$$
$$r = \frac{1}{2}$$
공비가 $r = \frac{1}{2}$임을 알아냈습니다!
3단계: 첫째항 $a$ 구하기
문제에서 두 번째 조건으로 $a_5 = \frac{3}{4}$을 주었습니다. 일반항 공식을 다시 한번 써봅시다.
$$a_5 = a r^4 = \frac{3}{4}$$
여기에 우리가 구한 공비 $r = \frac{1}{2}$을 대입합니다.
$$a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{3}{4}$$
$$a \cdot \frac{1}{16} = \frac{3}{4}$$
양변에 $16$을 곱하면 첫째항 $a$를 구할 수 있습니다.
$$a = \frac{3}{4} \times 16 = 12$$
첫째항은 $a_1 = a = 12$입니다.
4단계: $a_1 + a_2$의 값 계산하기
우리가 구하고자 하는 것은 $a_1 + a_2$입니다.
- $a_1 = 12$
- $a_2 = a_1 \times r = 12 \times \frac{1}{2} = 6$
따라서 두 항의 합은 다음과 같습니다.
$$a_1 + a_2 = 12 + 6 = 18$$
답
④ 18
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 봅시다.
> [질문]
> 등비수열 $\{a_n\}$에서 $S_5 - S_3 = 4a_5$가 성립할 때, 이 수열의 공비 $r$의 값은 얼마일까요? (단, 모든 항은 양수입니다.)