어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼차함수의 극댓값과 극솟값을 갖는 $x$의 위치를 찾아, 두 값의 차를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 도함수와 극값의 관계: 함수 $f(x)$가 미분가능할 때, 극값을 갖는 지점에서는 도함수 $f'(x) = 0$이 됩니다.
- 증감표(또는 도함수의 그래프): $f'(x) = 0$이 되는 점을 기준으로 도함수의 부호가 어떻게 바뀌는지 확인하여 극대인지 극소인지 판정합니다.
- 부호가 $+$에서 $-$로 바뀌면 극대
- 부호가 $-$에서 $+$로 바뀌면 극소
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$ 구하기
함수의 그래프가 어디서 꺾이는지(접선의 기울기가 $0$이 되는지) 알기 위해 먼저 미분을 합니다.
$$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 12x + 4$$
이 식을 $x$에 대해 미분하면 다음과 같습니다.
$$f'(x) = x^2 - 4x - 12$$
2단계: 도함수가 $0$이 되는 $x$의 값 구하기
접선의 기울기가 $0$이 되는 지점을 찾기 위해 $f'(x) = 0$이라는 방정식을 세우고 풉니다.
$$x^2 - 4x - 12 = 0$$
이 이차방정식은 인수분해를 통해 쉽게 풀 수 있습니다. 곱해서 $-12$, 더해서 $-4$가 되는 두 수는 $-6$과 $2$입니다.
$$(x - 6)(x + 2) = 0$$
따라서 $f'(x) = 0$을 만족하는 $x$의 값은 다음과 같습니다.
$$x = -2 \quad \text{또는} \quad x = 6$$
3단계: 극대와 극소 판정하기
이제 $x = -2$와 $x = 6$ 중 어느 곳에서 극대이고 극소인지 판정해 봅시다.
도함수 $f'(x) = (x-6)(x+2)$는 아래로 볼록한 이차함수 그래프입니다.
- $x < -2$ 일 때, $f'(x) > 0$ (함수 증가)
- $-2 < x < 6$ 일 때, $f'(x) < 0$ (함수 감소)
- $x > 6$ 일 때, $f'(x) > 0$ (함수 증가)
즉,
- $x = -2$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 $+$에서 $-$로 바뀌므로, $x = -2$에서 극대가 됩니다. 따라서 $\alpha = -2$입니다.
- $x = 6$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 $-$에서 $+$로 바뀌므로, $x = 6$에서 극소가 됩니다. 따라서 $\beta = 6$입니다.
4단계: $\beta - \alpha$의 값 계산하기
구한 $\alpha$와 $\beta$ 값을 대입하여 최종 답을 구합니다.
$$\beta - \alpha = 6 - (-2) = 6 + 2 = 8$$
답
⑤ $8$
확인해보기
함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$의 부호가 어떤 값 $x=c$의 좌우에서 **양수($+$)에서 음수($-$)**로 바뀔 때, 원래 함수 $f(x)$는 $x=c$에서 극대와 극소 중 어떤 값을 가질까요? 그래프의 오르내림(증가와 감소)을 생각하며 스스로 설명해 보세요.