어떤 문제인가
이 문제는 주어진 관계식을 통해 삼차함수 $f(x)$의 식을 먼저 구한 뒤, 그 식을 정적분하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 인수분해와 항등식: 식을 정리하여 복잡한 관계식에서 $f(x)$를 뽑아냅니다.
- 우함수와 기함수의 정적분: 적분 구간이 $[-a, a]$처럼 원점을 기준으로 대칭일 때, 홀수 차수(기함수)와 짝수 차수(우함수)의 성질을 이용하면 계산을 아주 쉽게 만들 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 식을 인수분해하여 $f(x)$ 구하기
주어진 식은 모든 실수 $x$에 대해 성립하는 항등식입니다. 양변을 잘 묶어서 공통인수를 찾아봅시다.
좌변을 $f(x)$로 묶으면 다음과 같습니다.
$$xf(x) - f(x) = (x-1)f(x)$$
우변은 $3x$로 묶은 뒤, 삼차식의 인수분해 공식($a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$)을 이용해 정리합니다.
$$3x^4 - 3x = 3x(x^3 - 1) = 3x(x-1)(x^2 + x + 1)$$
이제 좌변과 우변을 다시 써볼까요?
$$(x-1)f(x) = 3x(x-1)(x^2 + x + 1)$$
이 식은 모든 실수 $x$에 대해 성립하므로, $x \neq 1$일 때 양변을 $(x-1)$로 나눌 수 있습니다. $f(x)$는 삼차함수(연속함수)이므로 모든 실수 $x$에 대해 다음과 같이 정의됩니다.
$$f(x) = 3x(x^2 + x + 1)$$
괄호를 풀어서 전개하면,
$$f(x) = 3x^3 + 3x^2 + 3x$$
가 됩니다. 문제에서 말한 대로 $f(x)$가 삼차함수가 맞네요!
2단계: 정적분 식 세우기
우리가 구해야 할 값은 $\int_{-2}^{2} f(x) dx$입니다. 위에서 구한 $f(x)$를 대입해 봅시다.
$$\int_{-2}^{2} (3x^3 + 3x^2 + 3x) dx$$
3단계: 대칭성을 이용하여 정적분 계산하기
적분 구간이 $[-2, 2]$로 아래끝과 위끝의 절대값이 같고 부호가 반대입니다. 이럴 때는 우함수(짝수 차수)와 기함수(홀수 차수)의 성질을 쓰면 계산이 매우 간단해집니다!
- 기함수(홀수 차수 항): $x^3, x$와 같은 홀수 차수 항은 원점 대칭이므로, $[-2, 2]$ 구간에서 적분하면 양수 부분과 음수 부분의 넓이가 같아져서 **$0$이 됩니다.**
$$\int_{-2}^{2} 3x^3 dx = 0, \quad \int_{-2}^{2} 3x dx = 0$$
- 우함수(짝수 차수 항): $x^2$과 같은 짝수 차수 항은 $y$축 대칭이므로, $[-2, 2]$ 구간의 적분은 $[0, 2]$ 구간의 적분 값을 **$2$배 한 것과 같습니다.**
$$\int_{-2}^{2} 3x^2 dx = 2 \int_{0}^{2} 3x^2 dx$$
따라서, 복잡한 식을 다음과 같이 아주 간단하게 줄일 수 있습니다.
$$\int_{-2}^{2} (3x^3 + 3x^2 + 3x) dx = 2 \int_{0}^{2} 3x^2 dx$$
이제 이 식을 계산해 봅시다. $3x^2$을 부정적분하면 $x^3$이 되므로,
$$2 \int_{0}^{2} 3x^2 dx = 2 \left[ x^3 \right]_{0}^{2}$$
$$= 2 \times (2^3 - 0^3)$$
$$= 2 \times 8 = 16$$
답
정답은 **② $16$** 입니다.
확인해보기
위 풀이에서 배운 '대칭성을 이용한 정적분'을 잘 이해했는지 확인해봅시다.
> 질문: 정적분 구간이 $[-5, 5]$일 때, 다음 정적분의 값은 홀수 차수 항들을 제외하고 어떻게 간단히 바꾸어 계산할 수 있을까요? (직접 계산하지 말고, 기함수를 지운 뒤 우함수의 성질을 적용한 식만 써보세요.)
> $$\int_{-5}^{5} (7x^5 - 2x^4 + 3x^3 + 5x^2 - x) dx$$