어떤 문제인가
이 문제는 수직선 위의 두 점을 특정 비율로 나누는 내분점의 개념과, 로그의 성질을 이용해 지수 형태의 식($4^m$)의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음 3가지입니다.
- 내분점 공식: 수직선 위의 두 점 $A(a)$, $B(b)$를 $m : n$으로 내분하는 점의 좌표는 $\frac{ma + nb}{m+n}$입니다.
- 로그의 성질:
- 로그의 뺄셈: $\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)$
- 로그의 실수배: $k \log_a x = \log_a (x^k)$
- 로그의 정의: $\log_a a = 1$
- 지수와 로그의 관계: $\log_a X = \log_a Y$ 이면 $X = Y$ 입니다.
단계별 풀이
1단계: 내분점 공식을 이용하여 식 세우기
두 점 $\text{P}(\log_5 3)$와 $\text{Q}(\log_5 12)$를 $m : (1-m)$으로 내분하는 점의 좌표가 $1$이라고 했습니다. 내분점 공식에 대입해 볼까요?
내분점의 좌표는 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
$$\text{내분점} = \frac{m \cdot \log_5 12 + (1-m) \cdot \log_5 3}{m + (1-m)}$$
여기서 분모를 먼저 계산해 보면 $m + (1-m) = 1$이 되어 아주 간단해집니다!
따라서 내분점의 좌표 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$m \log_5 12 + (1-m) \log_5 3 = 1$$
2단계: 로그의 성질을 이용하여 식 정리하기
이제 이 식을 정리해서 우리가 구하고자 하는 $4^m$의 형태를 만들어 봅시다.
좌변의 괄호를 풀어서 전개해 볼게요.
$$m \log_5 12 + \log_5 3 - m \log_5 3 = 1$$
공통인수 $m$을 가진 항끼리 묶어줍니다.
$$m(\log_5 12 - \log_5 3) + \log_5 3 = 1$$
괄호 안의 로그의 뺄셈은 진수의 나눗셈으로 바꿀 수 있습니다 ($\log_5 12 - \log_5 3 = \log_5 \frac{12}{3} = \log_5 4$).
$$m \log_5 4 + \log_5 3 = 1$$
3단계: $4^m$의 값 구하기
우리가 구해야 하는 값은 $4^m$입니다. 식에 $m \log_5 4$가 있으니, 로그의 성질을 이용해 $m$을 진수의 지수로 올려줍니다.
$$\log_5 (4^m) + \log_5 3 = 1$$
우변의 $1$을 밑이 $5$인 로그로 바꾸면 $1 = \log_5 5$가 됩니다. 그리고 좌변의 $\log_5 3$을 우변으로 이항해 봅시다.
$$\log_5 (4^m) = \log_5 5 - \log_5 3$$
우변을 다시 로그의 성질(뺄셈은 나눗셈)을 이용해 합쳐줍니다.
$$\log_5 (4^m) = \log_5 \left(\frac{5}{3}\right)$$
양변의 로그 밑이 $5$로 같으므로, 진수끼리 같아야 합니다.
$$4^m = \frac{5}{3}$$
답
따라서 구하고자 하는 $4^m$의 값은 **$\frac{5}{3}$ 이므로, 정답은 ④**번입니다.
확인해보기
이번 문제를 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
> 질문: 만약 문제에서 내분점의 좌표가 $1$이 아니라 $2$였다면, $4^m$의 값은 어떻게 변했을까요? 위 풀이 과정을 참고하여 스스로 계산해 보세요. (답은 직접 구해보며 확인해 봅시다!)