어떤 문제인가
이 문제는 좌표공간에서 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 잇는 선분의 중점의 좌표를 이용하여 미지수의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 좌표공간에서의 점의 표현: 공간에서의 점은 $(x, y, z)$의 세 성분으로 나타냅니다.
- 선분의 중점 공식: 두 점 $P(x_1, y_1, z_1)$과 $Q(x_2, y_2, z_2)$를 잇는 선분 $PQ$의 중점 $M$의 좌표는 각 성분의 평균과 같습니다.
$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$$
단계별 풀이
1단계: 중점 공식 적용하기
두 점 $\mathrm{A}(a, -2, 6)$와 $\mathrm{B}(9, 2, b)$의 중점의 좌표를 구하는 식을 세워봅시다.
중점의 각 좌표는 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$의 $x, y, z$ 좌표를 각각 더한 뒤 $2$로 나누면 됩니다.
- $x$좌표의 중점: $\frac{a + 9}{2}$
- $y$좌표의 중점: $\frac{-2 + 2}{2} = 0$
- $z$좌표의 중점: $\frac{6 + b}{2}$
따라서 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 좌표는 다음과 같이 표현됩니다.
$$\left(\frac{a + 9}{2}, 0, \frac{6 + b}{2}\right)$$
2단계: 주어진 중점의 좌표와 비교하여 식 세우기
문제에서 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 좌표가 $(4, 0, 7)$이라고 알려주었습니다.
우리가 1단계에서 구한 식과 실제 좌표를 비교하여 방정식을 세워봅시다.
- **$x$좌표 비교**:
$$\frac{a + 9}{2} = 4$$
- **$z$좌표 비교**:
$$\frac{6 + b}{2} = 7$$
($y$좌표는 $0 = 0$으로 이미 잘 성립하는 것을 볼 수 있습니다.)
3단계: 방정식 풀고 $a+b$ 구하기
이제 각각의 방정식을 풀어 미지수 $a$와 $b$의 값을 구해봅시다.
- **$a$ 구하기**:
$$\frac{a + 9}{2} = 4$$
양변에 $2$를 곱하면,
$$a + 9 = 8$$
양변에서 $9$를 빼면,
$$a = -1$$
- **$b$ 구하기**:
$$\frac{6 + b}{2} = 7$$
양변에 $2$를 곱하면,
$$6 + b = 14$$
양변에서 $6$을 빼면,
$$b = 8$$
따라서 우리가 구하고자 하는 $a+b$의 값은 다음과 같습니다.
$$a+b = -1 + 8 = 7$$
답
④ $7$
확인해보기
공간에서 두 점 $\mathrm{C}(2, y, -1)$과 $\mathrm{D}(x, 5, 5)$의 중점의 좌표가 $(3, 1, z)$일 때, $x+y+z$의 값은 무엇일까요? (위에서 배운 중점 공식을 차근차근 적용해 보세요!)