어떤 문제인가
이 문제는 타원 위의 한 점이 주어졌을 때, 그 점에서의 접선의 기울기를 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 대입을 통한 미지수 구하기: 점이 타원 위에 있으므로, 점의 좌표를 타원 방정식에 대입하여 미지수 $a^2$의 값을 먼저 구합니다.
- 타원의 접선 방정식 공식: 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$입니다.
- 직선의 기울기 구하기: 접선의 방정식을 $y = mx + n$ 꼴로 정리하여 기울기 $m$을 찾습니다.
단계별 풀이
1단계: 타원의 방정식 완성하기 (미지수 $a^2$ 구하기)
점 $(\sqrt{3}, -2)$가 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{6} = 1$ 위의 점이므로, 이 좌표를 타원 방정식에 대입하면 식이 성립해야 합니다. $x = \sqrt{3}$, $y = -2$를 대입해 봅시다.
$$\frac{(\sqrt{3})^2}{a^2} + \frac{(-2)^2}{6} = 1$$
분자를 계산하면 다음과 같습니다.
$$\frac{3}{a^2} + \frac{4}{6} = 1$$
$\frac{4}{6}$를 약분하면 $\frac{2}{3}$이므로, 식을 다시 쓰면 다음과 같습니다.
$$\frac{3}{a^2} + \frac{2}{3} = 1$$
양변에서 $\frac{2}{3}$를 빼줍니다.
$$\frac{3}{a^2} = 1 - \frac{2}{3}$$
$$\frac{3}{a^2} = \frac{1}{3}$$
대각선으로 곱하여 정리하면 $a^2$의 값을 구할 수 있습니다.
$$a^2 = 9$$
따라서 우리가 구하려는 타원의 방정식은 다음과 같습니다.
$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{6} = 1$$
2단계: 접선의 방정식 구하기
타원 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{6} = 1$ 위의 점 $(\sqrt{3}, -2)$에서의 접선의 방정식을 구해봅시다.
공식 $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$에 $x_1 = \sqrt{3}$, $y_1 = -2$를 대입합니다.
$$\frac{\sqrt{3}x}{9} + \frac{-2y}{6} = 1$$
y가 있는 항의 계수를 약분하여 정리합니다.
$$\frac{\sqrt{3}}{9}x - \frac{1}{3}y = 1$$
3단계: 접선의 기울기 구하기
이제 이 접선의 방정식을 $y = mx + n$ 형태로 정리하여 기울기 $m$을 구해봅시다.
먼저 $-\frac{1}{3}y$를 우변으로 이항합니다.
$$\frac{\sqrt{3}}{9}x - 1 = \frac{1}{3}y$$
양변에 $3$을 곱하여 $y$에 대해 정리합니다.
$$y = 3 \left( \frac{\sqrt{3}}{9}x - 1 \right)$$
$$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 3$$
따라서 이 접선의 기울기는 $x$의 계수인 $\frac{\sqrt{3}}{3}$입니다.
답
**③ $\frac{\sqrt{3}}{3}$**
확인해보기
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> 질문: 타원 $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$ 위의 점 $(2, \sqrt{2})$에서의 접선의 기울기는 얼마일까요?