어떤 문제인가
이 문제는 두 벡터의 크기가 주어졌을 때, 새로운 벡터의 크기를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 머릿속에 꼭 넣어두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 벡터의 크기와 내적의 관계: 벡터의 크기를 제곱하면 자기 자신과의 내적과 같습니다. 즉, $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$ 입니다. 이 성질을 이용해 복잡한 벡터의 절대값 기호를 풀어낼 수 있습니다.
- 벡터 내적의 연산 법칙: 벡터의 내적은 실수의 곱셈 공식처럼 분배법칙과 결합법칙이 성립합니다. 예: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$
단계별 풀이
1단계: 주어진 조건식의 양변을 제곱하여 내적값 구하기
우리가 구해야 하는 $|\vec{a} - \vec{b}|$를 알기 위해서는 두 벡터의 내적인 $\vec{a} \cdot \vec{b}$의 값을 먼저 알아내야 합니다. 문제에서 주어진 $|2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{17}$의 양변을 제곱해 봅시다.
양변을 제곱하면 다음과 같습니다.
$$|2\vec{a} - \vec{b}|^2 = 17$$
좌변을 내적의 성질을 이용해 전개해 보겠습니다.
$$(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b}) = 17$$
$$4|\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = 17$$
이제 문제에서 알려준 $|\vec{a}| = \sqrt{11}$과 $|\vec{b}| = 3$을 대입합니다. (이때 $|\vec{a}|^2 = 11$, $|\vec{b}|^2 = 9$가 됩니다.)
$$4(11) - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9 = 17$$
$$44 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9 = 17$$
$$53 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 17$$
이 식을 정리하여 $\vec{a} \cdot \vec{b}$의 값을 구합니다.
$$4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 53 - 17$$
$$4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 36$$
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 9$$
2단계: 구하고자 하는 식을 제곱하여 값 계산하기
우리가 최종적으로 구하고 싶은 값은 $|\vec{a} - \vec{b}|$입니다. 이 값 역시 바로 구하기 어려우므로, 먼저 제곱한 값을 구한 뒤에 제곱근을 씌워줄 것입니다.
$|\vec{a} - \vec{b}|^2$을 전개해 봅시다.
$$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$$
여기에 우리가 이미 알고 있는 값들($|\vec{a}|^2 = 11$, $|\vec{b}|^2 = 9$)과 1단계에서 구한 내적값($\vec{a} \cdot \vec{b} = 9$)을 대입합니다.
$$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 11 - 2(9) + 9$$
$$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 11 - 18 + 9$$
$$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 2$$
3단계: 제곱근을 씌워 최종 답 구하기
벡터의 크기는 항상 $0$ 이상이므로, 양의 제곱근을 선택합니다.
$$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{2}$$
답
**② $\sqrt{2}$**
확인해보기
오늘 배운 "벡터의 크기를 구하기 위해 양변을 제곱하여 내적을 활용한다"는 아이디어를 잘 이해했는지 다음 문제를 통해 스스로 점검해 보세요!
> [질문]
> 두 벡터 $\vec{p}, \vec{q}$에 대하여 $|\vec{p}| = 2$, $|\vec{q}| = 5$ 이고, 두 벡터의 내적 $\vec{p} \cdot \vec{q} = 3$ 일 때, $|2\vec{p} - \vec{q}|$의 값은 얼마일까요? (직접 종이에 써서 계산해 보세요!)