반갑습니다! 오늘도 즐겁게 수학을 배워봅시다. 공간도형과 정사영 문제는 처음에는 입체적으로 생각해야 해서 어렵게 느껴질 수 있지만, 핵심 개념들을 하나씩 적용하면 아주 명쾌하게 풀린답니다. 선생님과 함께 차근차근 해결해 봐요!
어떤 문제인가
이 문제는 공간에 있는 선분과 평면, 그리고 그 평면 위로의 정사영 사이의 관계를 묻고 있습니다. 우리가 이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음 3가지입니다.
- 정사영의 길이 공식: 선분의 길이와 정사영의 길이가 같으면, 그 선분은 평면과 평행합니다.
- 삼수선의 정리: 공간에서 수직 관계를 찾고 이면각(두 평면이 이루는 각)을 정의할 때 사용하는 강력한 도구입니다.
- 정사영의 넓이 공식: 두 평면이 이루는 각을 $\theta$라 할 때, 도형의 넓이 $S$와 정사영의 넓이 $S'$ 사이에는 $S' = S \cos\theta$가 성립합니다.
단계별 풀이
1단계: 선분 $\text{AB}$와 평면 $\alpha$의 위치 관계 파악하기
문제에서 선분 $\text{AB}$의 길이와 평면 $\alpha$ 위로의 정사영 $\text{A}'\text{B}'$의 길이가 모두 $6$으로 같다고 했습니다.
$$\overline{\text{AB}} = \overline{\text{A}'\text{B}'} = 6$$
선분의 원래 길이와 정사영의 길이가 같다는 것은 **선분 $\text{AB}$가 평면 $\alpha$와 평행하다**는 것을 의미합니다.
따라서 점 $\text{A}$와 점 $\text{B}$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발 $\text{A}'$, $\text{B}'$에 대해, 선분 $\text{AB}$와 $\text{A}'\text{B}'$는 평행합니다 ($\text{AB} \parallel \text{A}'\text{B}'$).
또한, $\text{M}$은 $\text{AB}$의 중점이므로 그 정사영 $\text{M}'$ 역시 $\text{A}'\text{B}'$의 중점이 됩니다.
2단계: 삼각형 $\text{A}'\text{B}'\text{P}$의 넓이 구하기
평면 $\alpha$ 위에 있는 삼각형 $\text{A}'\text{B}'\text{P}$의 넓이를 구해봅시다.
문제에서 $\overline{\text{PM}'} \perp \overline{\text{A}'\text{B}'}$이고 $\overline{\text{PM}'} = 6$이라고 주어졌습니다.
$\text{M}'$이 선분 $\text{A}'\text{B}'$의 중점이므로, 선분 $\text{PM}'$은 삼각형 $\text{A}'\text{B}'\text{P}$의 밑변 $\text{A}'\text{B}'$에 대한 높이가 됩니다.
따라서 삼각형 $\text{A}'\text{B}'\text{P}$의 넓이 $S$는 다음과 같습니다.
$$S = \frac{1}{2} \times \overline{\text{A}'\text{B}'} \times \overline{\text{PM}'} = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$$
3단계: 두 평면이 이루는 각($\theta$)의 코사인 값 구하기
삼각형 $\text{A}'\text{B}'\text{P}$의 평면 $\text{ABP}$ 위로의 정사영의 넓이가 $\frac{9}{2}$라고 주어졌습니다.
평면 $\alpha$(삼각형 $\text{A}'\text{B}'\text{P}$가 있는 평면)와 평면 $\text{ABP}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라고 하면, 정사영의 넓이 공식에 의해 다음이 성립합니다.
$$\text{(정사영의 넓이)} = S \times \cos\theta$$
$$\frac{9}{2} = 18 \times \cos\theta$$
이 식을 정리하여 $\cos\theta$를 구하면 다음과 같습니다.
$$\cos\theta = \frac{9/2}{18} = \frac{1}{4}$$
4단계: 삼수선의 정리로 직각삼각형 만들고 $\overline{\text{PM}}$ 길이 구하기
이제 $\overline{\text{PM}}$의 길이를 구하기 위해 공간에서의 수직 관계를 살펴봅시다.
- 점 $\text{M}$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발은 $\text{M}'$이므로, $\text{MM}' \perp \alpha$ 입니다.
- 평면 $\alpha$ 위에서 $\text{PM}' \perp \text{A}'\text{B}'$ 입니다.
- 삼수선의 정리에 의해, $\text{PM} \perp \text{AB}$ (그리고 $\text{PM} \perp \text{A}'\text{B}'$)가 성립합니다.
평면 $\text{ABP}$와 평면 $\alpha$의 교선은 점 $\text{P}$를 지나고 $\text{AB}$(또는 $\text{A}'\text{B}'$)에 평행한 직선 $l$이 됩니다.
이때 $\text{PM}' \perp l$ 이고 $\text{PM} \perp l$ 이므로, 두 평면이 이루는 각 $\theta$는 바로 **$\angle\text{MPM}'$**이 됩니다!
이제 직각삼각형 $\text{MM}'\text{P}$ ($\angle\text{MM}'\text{P} = 90^\circ$)를 그려봅시다.
이 삼각형에서 $\angle\text{MPM}' = \theta$ 이므로, 코사인 정의에 의해 다음이 성립합니다.
$$\cos\theta = \frac{\overline{\text{PM}'}}{\overline{\text{PM}}}$$
우리가 구한 값들을 대입해 볼까요? $\cos\theta = \frac{1}{4}$ 이고 $\overline{\text{PM}'} = 6$ 이므로,
$$\frac{1}{4} = \frac{6}{\overline{\text{PM}}}$$
$$\overline{\text{PM}} = 24$$
가 됩니다.
답
정답은 **⑤ $24$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: 만약 어떤 선분 $\text{XY}$의 길이가 $10$이고, 이 선분을 평면 $\beta$ 위로 정사영 시킨 선분 $\text{X}'\text{Y}'$의 길이가 $5$라면, 선분 $\text{XY}$와 평면 $\beta$가 이루는 각의 크기는 몇 도($^\circ$)일까요? (단, 각의 크기는 $0^\circ$ 이상 $90^\circ$ 이하입니다.)