어떤 문제인가
이 문제는 포물선의 성질과 기하학적 조건(선분의 길이 비)을 결합하여 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 포물선의 정의와 기본 요소: 포물선 $y^2 = 4px$에서 초점 $F(p, 0)$와 준선 $x = -p$의 방정식을 찾을 수 있어야 합니다.
- 직선과 포물선의 교점: 두 도형이 만나는 점의 좌표를 구하기 위해 연립방정식을 세우고, 이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용합니다.
- 선분의 길이 비와 좌표의 관계: 세 점 $B, C, D$가 한 직선 위에 있을 때, $\overline{BC} = \overline{CD}$라는 조건은 점 $C$가 선분 $BD$의 중점임을 뜻하며, 이는 $y$좌표 사이의 관계식으로 나타낼 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 포물선의 초점과 준선 구하기, 그리고 점 $A, B$ 좌표 설정하기
주어진 포물선의 방정식은 $y^2 = 8x$입니다. 이를 기본형 $y^2 = 4px$와 비교하면 $4p = 8$이므로 $p = 2$입니다.
- 초점: $F(2, 0)$
- 준선: $x = -2$
포물선 위의 점 $A$의 좌표를 $A(x_1, y_1)$이라고 합시다. 점 $A$는 포물선 위의 점이므로 다음 식을 만족합니다.
$$y_1^2 = 8x_1 \quad \implies \quad x_1 = \frac{y_1^2}{8}$$
점 $B$는 점 $A$에서 준선 $x = -2$에 내린 수선의 발이므로, $y$좌표는 $y_1$으로 같고 $x$좌표는 $-2$가 됩니다.
- $B(-2, y_1)$
2단계: 직선 $BF$와 포물선의 교점 $C, D$의 관계식 세우기
직선 $BF$는 두 점 $B(-2, y_1)$과 $F(2, 0)$을 지납니다. 이 직선의 기울기 $m$을 구해봅시다.
$$m = \frac{0 - y_1}{2 - (-2)} = -\frac{y_1}{4}$$
따라서 직선 $BF$의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y = -\frac{y_1}{4}(x - 2)$$
이 식을 $x$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$x - 2 = -\frac{4y}{y_1} \quad \implies \quad x = 2 - \frac{4y}{y_1}$$
이제 이 직선과 포물선 $y^2 = 8x$의 교점 $C, D$의 $y$좌표를 구하기 위해 두 식을 연립합니다.
$$y^2 = 8\left(2 - \frac{4y}{y_1}\right)$$
$$y^2 = 16 - \frac{32}{y_1}y$$
$$y^2 + \frac{32}{y_1}y - 16 = 0$$
이 이차방정식의 두 실근이 바로 교점 $C$와 $D$의 $y$좌표인 $y_C, y_D$입니다. 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립합니다.
$$y_C + y_D = -\frac{32}{y_1} \quad \text{--- (ㄱ)}$$
$$y_C y_D = -16 \quad \text{--- (ㄴ)}$$
3단계: 조건 $\overline{BC} = \overline{CD}$ 적용하기
세 점 $B, C, D$는 한 직선 위에 있습니다. $\overline{BC} = \overline{CD}$라는 것은 점 $C$가 선분 $BD$의 중점이라는 뜻입니다. 따라서 이들의 $y$좌표 사이에도 동일한 중점 공식이 성립합니다.
$$y_C = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{y_1 + y_D}{2}$$
$$2y_C - y_D = y_1 \quad \text{--- (ㄷ)}$$
이제 (ㄱ)번 식과 (ㄷ)번 식을 연립하여 $y_C$와 $y_D$를 $y_1$에 대한 식으로 나타내 봅시다.
두 식을 더하면:
$$3y_C = y_1 - \frac{32}{y_1} \quad \implies \quad y_C = \frac{y_1^2 - 32}{3y_1}$$
(ㄷ)번 식에 대입하여 $y_D$를 구하면:
$$y_D = 2y_C - y_1 = 2\left(\frac{y_1^2 - 32}{3y_1}\right) - y_1 = \frac{2y_1^2 - 64 - 3y_1^2}{3y_1} = \frac{-y_1^2 - 64}{3y_1}$$
4단계: $y_1$의 값 구하기
이제 구한 $y_C$와 $y_D$를 (ㄴ)번 식($y_C y_D = -16$)에 대입합니다.
$$\left(\frac{y_1^2 - 32}{3y_1}\right) \left(\frac{-(y_1^2 + 64)}{3y_1}\right) = -16$$
$$\frac{(y_1^2 - 32)(y_1^2 + 64)}{9y_1^2} = 16$$
$$(y_1^2 - 32)(y_1^2 + 64) = 144y_1^2$$
계산을 편하게 하기 위해 $y_1^2 = t$ ($t > 0$)로 치환합시다.
$$(t - 32)(t + 64) = 144t$$
$$t^2 + 32t - 2048 = 144t$$
$$t^2 - 112t - 2048 = 0$$
이 이차방정식을 인수분해하면 다음과 같습니다.
$$(t - 128)(t + 16) = 0$$
$t > 0$이므로 $t = 128$입니다. 즉, $y_1^2 = 128$입니다.
편의상 점 $A$가 1사분면에 있다고 가정하면(대칭성에 의해 넓이는 같습니다),
$$y_1 = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$$
이때 점 $A$의 $x$좌표는 $x_1 = \frac{y_1^2}{8} = \frac{128}{8} = 16$이 됩니다.
5단계: 삼각형 $ABD$의 넓이 구하기
삼각형 $ABD$의 세 꼭짓점의 좌표 정보를 정리해 봅시다.
- $A(16, 8\sqrt{2})$
- $B(-2, 8\sqrt{2})$
두 점 $A$와 $B$는 $y$좌표가 같으므로, 선분 $AB$는 $x$축과 평행합니다. 따라서 선분 $AB$를 삼각형의 밑변으로 잡으면 아주 편리합니다!
- 밑변의 길이: $\overline{AB} = 16 - (-2) = 18$
이제 높이를 구하기 위해 점 $D$의 $y$좌표 $y_D$를 구합니다. 앞서 구한 식에 $y_1 = 8\sqrt{2}$, $y_1^2 = 128$을 대입합니다.
$$y_D = \frac{-128 - 64}{3(8\sqrt{2})} = \frac{-192}{24\sqrt{2}} = -\frac{8}{\sqrt{2}} = -4\sqrt{2}$$
삼각형의 높이 $h$는 밑변을 포함하는 직선 $y = 8\sqrt{2}$와 점 $D$의 $y$좌표 사이의 거리입니다.
- 높이: $h = |8\sqrt{2} - (-4\sqrt{2})| = 12\sqrt{2}$
따라서 삼각형 $ABD$의 넓이는 다음과 같습니다.
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times \overline{AB} \times h = \frac{1}{2} \times 18 \times 12\sqrt{2} = 108\sqrt{2}$$
답
**③ $108\sqrt{2}$**
확인해보기
점 $C$와 점 $D$가 포물선 위의 점이라는 기하학적 성질과, 직선과 포물선을 연립하여 얻은 이차방정식의 '근과 계수의 관계'는 어떤 연결고리를 갖고 있나요? 이 풀이에서 근과 계수의 관계를 사용하지 않고 직접 교점을 구하려고 했다면 어떤 어려움이 있었을지 스스로 생각해 보세요.