반갑습니다! 수학과 물리를 가르치는 선생님이에요.
오늘 함께 풀어볼 문제는 공간도형에서 삼수선의 정리, 타원의 성질, 그리고 이면각의 개념이 아주 멋지게 어우러진 문제입니다. 복잡해 보이지만, 하나씩 실타래를 풀듯 단계별로 접근하면 충분히 스스로 이해할 수 있어요. 자, 시작해 볼까요?
어떤 문제인가
이 문제는 두 평면이 이루는 각(이름하여 이면각)의 크기 $\theta$에 대해 $\cos\theta$를 구하는 문제입니다. 이를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 타원의 정의와 성질: 타원 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 장축의 길이($2a$)와 같습니다.
- 코사인 법칙: 삼각형에서 세 변과 한 각 사이의 관계를 밝혀줍니다.
- 삼수선의 정리: 공간에서 수선들이 이루는 직각 관계를 이용해 평면 사이의 각을 직각삼각형으로 유도합니다.
단계별 풀이
1단계: 타원의 성질과 코사인 법칙으로 초점거리 구하기
먼저 평면 $\beta$ 위에서 일어나는 상황을 정리해 봅시다.
- 타원 $C_2$의 장축은 선분 $\mathrm{AB}$이고, $\overline{\mathrm{AB}} = 18$이므로 타원의 장축의 길이 $2a = 18$에서 $a = 9$입니다.
- 점 $\mathrm{Q}$는 타원 $C_2$ 위의 점이므로, 타원의 정의에 의해 두 초점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{F}'$으로부터의 거리의 합은 장축의 길이와 같습니다.
$$ \overline{\mathrm{QF}} + \overline{\mathrm{QF}'} = 18 $$
- 문제에서 점 $\mathrm{H}$를 중심으로 하고 $\mathrm{Q}$를 지나는 원의 반지름이 $4$라고 했습니다. 즉, $\overline{\mathrm{HQ}} = 4$입니다.
- 또한, 세 점 $\mathrm{F}, \mathrm{H}, \mathrm{Q}$는 한 직선 위에 있고 $\overline{\mathrm{FH}} < \overline{\mathrm{FQ}}$이므로, 점 $\mathrm{H}$는 선분 $\mathrm{FQ}$ 위에 있습니다. 따라서 다음과 같은 관계가 성립합니다.
$$ \overline{\mathrm{FQ}} = \overline{\mathrm{FH}} + \overline{\mathrm{HQ}} = \overline{\mathrm{FH}} + 4 $$
여기서 $\overline{\mathrm{FH}}$의 길이를 구하기 위해 원의 성질을 하나 더 씁니다. 점 $\mathrm{H}$를 중심으로 하는 원이 직선 $\mathrm{AB}$에 접하므로, 점 $\mathrm{H}$에서 직선 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{K}$라 하면 수선의 길이 $\overline{\mathrm{HK}}$는 원의 반지름인 $4$가 됩니다.
직각삼각형에서 $\angle\mathrm{HFF}' = 30^\circ$($\frac{\pi}{6}$)이므로, 삼각비를 이용하면 다음과 같습니다.
$$ \overline{\mathrm{FH}} = \frac{\overline{\mathrm{HK}}}{\sin 30^\circ} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8 $$
따라서, $\overline{\mathrm{FQ}} = 8 + 4 = 12$가 됩니다.
이제 타원의 정의를 다시 쓰면,
$$ \overline{\mathrm{QF}'} = 18 - \overline{\mathrm{FQ}} = 18 - 12 = 6 $$
이제 삼각형 $\mathrm{QFF}'$에서 세 변의 길이는 $\overline{\mathrm{QF}} = 12$, $\overline{\mathrm{QF}'} = 6$, 그리고 초점 사이의 거리 $\overline{\mathrm{FF}'} = 2c$입니다. 사잇각 $\angle\mathrm{QFF}' = 30^\circ$이므로 코사인 법칙을 적용해 봅시다.
$$ (\overline{\mathrm{QF}'})^2 = (\overline{\mathrm{QF}})^2 + (\overline{\mathrm{FF}'})^2 - 2 \cdot \overline{\mathrm{QF}} \cdot \overline{\mathrm{FF}'} \cdot \cos 30^\circ $$
$$ 6^2 = 12^2 + (2c)^2 - 2 \cdot 12 \cdot 2c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$
$$ 36 = 144 + 4c^2 - 24\sqrt{3}c $$
양변을 $4$로 나누고 정리하면,
$$ c^2 - 6\sqrt{3}c + 27 = 0 $$
이 식은 완전제곱식으로 인수분해됩니다!
$$ (c - 3\sqrt{3})^2 = 0 \implies c = 3\sqrt{3} $$
따라서 초점의 좌표는 원점(선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\mathrm{O}$)을 기준으로 $\mathrm{F}(3\sqrt{3}, 0)$, $\mathrm{F}'(-3\sqrt{3}, 0)$이 됩니다.
2단계: 점 $\mathrm{H}$의 위치 파악하기
점 $\mathrm{H}$의 좌표를 구해서 평면 $\alpha$ 위의 점 $\mathrm{P}$와의 관계를 찾아봅시다.
선분 $\mathrm{AB}$를 $x$축, 그 중점 $\mathrm{O}$를 원점으로 잡으면:
- $\mathrm{F}$는 $(3\sqrt{3}, 0)$입니다.
- 직선 $\mathrm{HF}$는 $\mathrm{F}$를 지나고 $x$축의 음의 방향과 $30^\circ$의 각을 이룹니다. (즉, 기울기가 $-\tan 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$입니다.)
- $\overline{\mathrm{FH}} = 8$이므로, $\mathrm{F}$에서 출발하여 이 직선을 따라 $8$만큼 간 점이 $\mathrm{H}$입니다.
$$ x_{\mathrm{H}} = 3\sqrt{3} - 8 \cos 30^\circ = 3\sqrt{3} - 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3} $$
$$ y_{\mathrm{H}} = 8 \sin 30^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 $$
따라서 점 $\mathrm{H}$의 좌표는 $(-\sqrt{3}, 4)$이고, 점 $\mathrm{H}$에서 $x$축(직선 $\mathrm{AB}$)에 내린 수선의 발 $\mathrm{K}$의 좌표는 $(-\sqrt{3}, 0)$입니다.
이때, 원점 $\mathrm{O}$로부터 $\mathrm{K}$까지의 거리는 다음과 같습니다.
$$ \overline{\mathrm{OK}} = \sqrt{3} $$
3단계: 삼수선의 정리와 이면각 구하기
이제 3차원 공간으로 시선을 넓혀봅시다.
- 점 $\mathrm{P}$는 평면 $\alpha$ 위의 원 $C_1$ 위에 있습니다. 이 원의 반지름은 $9$이고 중심은 $\mathrm{O}$입니다.
- 점 $\mathrm{P}$에서 평면 $\beta$에 내린 수선의 발이 $\mathrm{H}$이고, $\mathrm{H}$에서 교선 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발이 $\mathrm{K}$입니다.
- 삼수선의 정리에 의해, $\mathrm{P}$에서 교선 $\mathrm{AB}$에 선을 그으면 $\mathrm{PK} \perp \mathrm{AB}$가 성립합니다.
- 따라서, 두 평면이 이루는 이면각 $\theta$는 바로 직각삼각형 $\mathrm{PHK}$에서의 $\angle\mathrm{PKH}$가 됩니다!
직각삼각형 $\mathrm{PHK}$에서 $\cos\theta$는 다음과 같이 정의됩니다.
$$ \cos\theta = \frac{\overline{\mathrm{HK}}}{\overline{\mathrm{PK}}} $$
우리는 이미 $\overline{\mathrm{HK}} = 4$임을 알고 있으므로, $\overline{\mathrm{PK}}$의 길이만 구하면 됩니다.
평면 $\alpha$ 위에서 원 $C_1$의 반지름은 $9$이므로 $\overline{\mathrm{OP}} = 9$입니다.
또한 $\mathrm{PK} \perp \mathrm{AB}$이므로, 평면 $\alpha$ 위에서 직각삼각형 $\mathrm{OPK}$를 생각할 수 있습니다.
피타고라스 정리에 의해:
$$ \overline{\mathrm{OP}}^2 = \overline{\mathrm{OK}}^2 + \overline{\mathrm{PK}}^2 $$
$$ 9^2 = (\sqrt{3})^2 + \overline{\mathrm{PK}}^2 $$
$$ 81 = 3 + \overline{\mathrm{PK}}^2 \implies \overline{\mathrm{PK}}^2 = 78 \implies \overline{\mathrm{PK}} = \sqrt{78} $$
이제 최종적으로 $\cos\theta$를 구합니다.
$$ \cos\theta = \frac{\overline{\mathrm{HK}}}{\overline{\mathrm{PK}}} = \frac{4}{\sqrt{78}} = \frac{4\sqrt{78}}{78} = \frac{2\sqrt{78}}{39} $$
답
정답은 ⑤번 $\frac{2\sqrt{78}}{39}$ 입니다.
확인해보기
풀이 과정 중에서 "삼수선의 정리"가 사용된 핵심적인 부분을 찾고, 왜 $\mathrm{PK} \perp \mathrm{AB}$가 성립하는지 친구에게 설명하듯 한 문장으로 정리해 보세요.