안녕하세요! 오늘도 수학을 함께 즐겁게 배워봅시다. 이 문제는 쌍곡선의 정의와 삼각형의 성질을 결합한 아주 좋은 문제입니다. 복잡해 보이지만, 개념을 하나씩 적용하면 쉽게 풀 수 있어요. 선생님과 함께 차근차근 해결해 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 쌍곡선 위에 있는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$와 초점 사이의 거리 관계를 파악하고, 삼각형의 성질을 이용해 미지수 $c$를 구하는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 쌍곡선의 정의: 쌍곡선 위의 임의의 점에서 두 초점까지의 거리의 차는 주축의 길이($2a$)로 일정합니다.
- 이등변삼각형의 성질: 세 변 중 두 변의 길이가 같습니다.
- 선분의 분할과 둘레의 길이: 점의 위치 관계를 파악하여 복잡한 삼각형의 둘레를 단순한 선분의 길이로 나타냅니다.
단계별 풀이
1단계: 쌍곡선의 정의로 기본 식 세우기
쌍곡선의 주축의 길이가 $6$이라고 주어졌습니다. 쌍곡선의 정의에 의해, 쌍곡선 위의 임의의 점 $X$에 대해 두 초점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{F}'$까지의 거리의 차는 항상 $6$입니다.
점 $\mathrm{P}$는 제1사분면(즉, 오른쪽 가지) 위에 있으므로, 왼쪽 초점 $\mathrm{F}'$까지의 거리가 오른쪽 초점 $\mathrm{F}$까지의 거리보다 더 멉니다. 따라서 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다.
$$\mathrm{PF}' - \mathrm{PF} = 6 \quad \text{--- (1)}$$
2단계: 조건 (가)와 (다)를 이용하여 $\mathrm{PF}'$와 $\mathrm{PF}$의 길이 구하기
조건 (가)에서 점 $\mathrm{Q}$는 직선 $\mathrm{PF}'$ 위에 있다고 했습니다. 점 $\mathrm{P}$가 오른쪽 가지에 있고 $\mathrm{F}'$가 왼쪽 초점이므로, 이 둘을 잇는 직선이 쌍곡선과 만나는 또 다른 점 $\mathrm{Q}$는 반드시 왼쪽 가지 위에 있게 됩니다.
따라서 점들의 위치 순서는 $\mathrm{F}' - \mathrm{Q} - \mathrm{P}$가 되며, 다음이 성립합니다.
$$\mathrm{PF}' = \mathrm{PQ} + \mathrm{QF}' \quad \text{--- (2)}$$
또한, 점 $\mathrm{Q}$는 왼쪽 가지 위에 있으므로 쌍곡선의 정의에 의해 다음이 성립합니다.
$$\mathrm{QF} - \mathrm{QF}' = 6 \implies \mathrm{QF} = \mathrm{QF}' + 6 \quad \text{--- (3)}$$
이제 조건 (다)에서 삼각형 $\mathrm{PQF}$의 둘레의 길이가 $28$이라고 했으므로, 둘레를 식으로 나타내 봅시다.
$$\text{둘레} = \mathrm{PQ} + \mathrm{QF} + \mathrm{PF} = 28$$
여기에 식 (3)을 대입합니다.
$$\mathrm{PQ} + (\mathrm{QF}' + 6) + \mathrm{PF} = 28$$
$$(\mathrm{PQ} + \mathrm{QF}') + \mathrm{PF} + 6 = 28$$
식 (2)에 의해 $\mathrm{PQ} + \mathrm{QF}' = \mathrm{PF}'$이므로, 위 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$\mathrm{PF}' + \mathrm{PF} + 6 = 28$$
$$\mathrm{PF}' + \mathrm{PF} = 22 \quad \text{--- (4)}$$
이제 식 (1)과 식 (4)를 연립하여 두 선분의 길이를 구합니다.
$$\begin{cases} \mathrm{PF}' - \mathrm{PF} = 6 \\ \mathrm{PF}' + \mathrm{PF} = 22 \end{cases}$$
두 식을 더하면 $2\mathrm{PF}' = 28 \implies \mathrm{PF}' = 14$가 되고,
두 식을 빼면 $2\mathrm{PF} = 16 \implies \mathrm{PF} = 8$이 됩니다.
3단계: 조건 (나)를 이용하여 $c$의 값 구하기
조건 (나)에서 삼각형 $\mathrm{PF}'\mathrm{F}$는 이등변삼각형이라고 했습니다.
이 삼각형의 세 변의 길이는 다음과 같습니다.
- $\mathrm{PF}' = 14$
- $\mathrm{PF} = 8$
- $\mathrm{F}'\mathrm{F} = 2c$ (두 초점 사이의 거리)
두 변의 길이가 같아야 하므로, 가능한 경우는 다음 두 가지입니다. (단, $\mathrm{PF}' \neq \mathrm{PF}$이므로 이 둘이 같을 수는 없습니다.)
**Case 1) $\mathrm{PF} = \mathrm{F}'\mathrm{F}$ 인 경우**
$$8 = 2c \implies c = 4$$
*확인*: 세 변의 길이가 $14, 8, 8$인 삼각형이 존재할 수 있는지 확인해 봅시다. 가장 긴 변($14$)이 나머지 두 변의 합($8+8=16$)보다 작으므로 삼각형이 잘 만들어집니다!
**Case 2) $\mathrm{PF}' = \mathrm{F}'\mathrm{F}$ 인 경우**
$$14 = 2c \implies c = 7$$
*확인*: 세 변의 길이가 $14, 8, 14$인 삼각형이 존재할 수 있는지 확인해 봅시다. 가장 긴 변($14$)이 나머지 두 변의 합($8+14=22$)보다 작으므로 이 경우도 삼각형이 잘 만들어집니다!
4단계: 모든 $c$의 값의 합 구하기
구한 모든 $c$의 값은 $4$와 $7$입니다. 이들의 합을 구하면 됩니다.
$$\text{합} = 4 + 7 = 11$$
답
$$11$$
확인해보기
공부를 잘 마쳤는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 질문에 답해 보세요. (답은 스스로 생각해 보세요!)
> 질문: 만약 이 문제에서 쌍곡선의 주축의 길이가 $8$로 바뀌고, 삼각형 $\mathrm{PQF}$의 둘레의 길이가 $30$으로 바뀐다면, 선분 $\mathrm{PF}'$와 $\mathrm{PF}$의 길이는 각각 얼마가 될까요? 쌍곡선의 정의를 사용해 식을 세워보세요.